2016-北京卷文-10 填-导数

本题导读

本题考查函数的最值与导数应用、基本不等式或单调性法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{x}{x-1}(x⩾2)$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将函数变形为分离常数的形式，或者利用导数判断单调性。
2. 根据定义域 $x\ge 2$ 的端点值直接判断最值。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

方法一（变形法）： $f(x)=\frac{x}{x-1}=\frac{x-1+1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}$。 因为 $x\ge 2$，所以 $x-1\ge 1$，从而 $0<\frac{1}{x-1}\le 1$。 因此 $1<f(x)\le 2$。 当 $x=2$ 时，$f(x)$ 取得最大值为 $2$。

方法二（导数法）： $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x-1)-x\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ 恒成立， 故 $f(x)$ 在 $[2,+\infty )$ 上单调递减。 所以在区间端点 $x=2$ 处取得最大值 $f(2)=\frac{2}{2-1}=2$。 故答案为 $2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式函数的单调性与最值。
2. 核心方法：分离常数法与导数单调性法。
3. 避坑指南：注意自变量的取值范围 $x\ge 2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：初等函数值域与最值求解的基础题。
2. 结论推广：反比例型函数在闭区间上的最值总在端点取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

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