2016-北京卷文-12 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质、渐近线方程与焦距关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的一条渐近线为 $2x+y=0$，一个焦点为 $(\sqrt{5},0)$，则 $a=$ $\underline{}$；$b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由双曲线方程写出渐近线方程，结合已知渐近线求出 $a,b$ 的关系。
2. 利用双曲线的焦点坐标得出 $c=\sqrt{5}$，并结合 $c^2=a^2+b^2$ 列方程组求解。

✅【答案】

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$1,2$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，即 $bx\pm ay=0$。 已知一条渐近线为 $2x+y=0$，即 $y=-2x$， 故 $\frac{b}{a}=2$，即 $b=2a$。 又因为双曲线的一个焦点为 $(\sqrt{5},0)$，所以 $c=\sqrt{5}$，满足 $c^2=a^2+b^2=5$。 将 $b=2a$ 代入 $a^2+b^2=5$ 得： $a^2+(2a{)}^2=5⟹5a^2=5⟹a^2=1$。 因为 $a>0$，所以 $a=1$。 进而 $b=2a=2$。 故答案为 $1$；$2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的渐近线与 $a,b,c$ 关系。
2. 核心方法：方程组联立求解法。
3. 避坑指南：注意渐近线方程中斜率与 $a,b$ 的对应关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：圆锥曲线的基本性质考查。
2. 结论推广：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线恒为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-全国卷III文-14 填-双曲线
• 2017-全国卷III理-05 单-双曲线

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