2016-北京卷文-16 解-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的化简与恒等变换、正弦型函数的周期与单调区间。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\sin \omega x\cos \omega x+\cos 2\omega x(\omega >0)$ 的最小正周期为 $\pi$.

(1) 求 $\omega$ 的值；

(2) 求 $f(x)$ 的单调递增区间.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用二倍角公式将函数化简为 $f(x)=A\sin ({\omega }^{\prime }x+\phi )+k$ 的单一形式，然后根据最小正周期公式 $T=\frac{2\pi }{{\omega }^{\prime }}$ 求出 $\omega$。
2. 第 (2) 问：利用整体代换法，将正弦型函数的自变量放入正弦函数单调递增区间的不等式中求解。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $f(x)=2\sin \omega x\cos \omega x+\cos 2\omega x$， 由二倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$，可得： $2\sin \omega x\cos \omega x=\sin 2\omega x$。 所以函数可化简为： $f(x)=\sin 2\omega x+\cos 2\omega x=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2\omega x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2\omega x\right)=\sqrt{2}\sin \left(2\omega x+\frac{\pi }{4}\right)$。 因为函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，且 $\omega >0$， 所以 $T=\frac{2\pi }{2\omega }=\frac{\pi }{\omega }=\pi$， 解得 $\omega =1$。

(2) 由 (1) 知，当 $\omega =1$ 时，函数为 $f(x)=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。 要求 $f(x)$ 的单调递增区间，需满足正弦函数的单调递增区间： $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽2x+\frac{\pi }{4}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$。 移项得： $-\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}+2k\pi ⩽2x⩽\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}+2k\pi$， 即 $-\frac{3\pi }{4}+2k\pi ⩽2x⩽\frac{\pi }{4}+2k\pi$。 两边同除以 $2$ 得： $-\frac{3\pi }{8}+k\pi ⩽x⩽\frac{\pi }{8}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$。 因此，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[-\frac{3\pi }{8}+k\pi ,\frac{\pi }{8}+k\pi \right](k\in \mathbb{Z})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式、辅助角公式、正弦型函数的周期与单调性。
2. 核心方法：整体代换法求单调区间。
3. 避坑指南：在求解单调区间时，整体代入时切记将 $2x$ 作为一个整体，不可漏掉系数对区间的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考三角函数解答题的第一问标准降幂化一与周期求解。
2. 结论推广：形如 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的单调区间求解均可采用整体代入法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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