2016-北京卷文-17 解-均值不等式

本题导读

本题考查频率分布直方图的理解与应用、概率与统计的综合应用（百分位数、均值估计）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 某市居民用水拟实行阶梯水价，每人每月用水量中不超过 $w$ 立方米的部分按 $4$ 元/立方米收费，超出 $w$ 立方米的部分按 $10$ 元/立方米收费，从该市随机调查了 $10000$ 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图：

(1)如果 $w$ 为整数，那么根据此次调查，为使 $80\%$ 以上居民在该月的用水价格为 $4$ 元/立方米，$w$ 至少定为多少？

(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 $w=3$ 时，估计该市居民该月的人均水费.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：题目要求 $80\%$ 以上居民用水价格为 $4$ 元/立方米，即不超过 $w$ 立方米的居民频率需达到 $0.8$ 或以上。结合频率分布直方图的组距与纵坐标（频率/组距），从左向右依次累加各组的频率，直到累计频率达到或超过 $0.8$ 对应的区间上限。
2. 第 (2) 问：当 $w=3$ 时，分段计算水费：用水量不超过 $3$ 的部分按 $4$ 元/立方米计费，超过 $3$ 的部分按 $10$ 元/立方米计费。利用各小组的频率作为权重，乘以对应区间的右端点所产生的水费，求加权平均数。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

（1）观察频率分布直方图，各小组的组距均为 $0.5$，纵坐标为 $\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$。 因此，每一组的频率 = $\text{纵坐标}\times \text{组距}(0.5)$：

• $[0,0.5)$ 的频率为 $0.2\times 0.5=0.1$；
• $[0.5,1)$ 的频率为 $0.3\times 0.5=0.15$；
• $[1,1.5)$ 的频率为 $0.3\times 0.5=0.15$；
• $[1.5,2)$ 的频率为 $0.4\times 0.5=0.2$；
• $[2,2.5)$ 的频率为 $0.5\times 0.5=0.25$；
• $[2.5,3)$ 的频率为 $0.3\times 0.5=0.15$；
• $[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]$ 每组频率均为 $0.1\times 0.5=0.05$。

我们从左向右累加各组频率，看何时累计频率达到或超过 $0.8$：

• 累加到 $2$ 时（即区间 $[0,2)$）： $0.1+0.15+0.15+0.2=0.6$（即 $60\%$）；
• 累加到 $2.5$ 时（即区间 $[0,2.5)$）： $0.6+0.25=0.85$（即 $85\%$）。

因为 $85\%\ge 80\%$，且 $w$ 为整数， 所以为使 $80\%$ 以上居民在该月的用水价格为 $4$ 元/立方米，$w$ 至少定为 $3$（当 $w=3$ 时，累计频率为 $0.85+0.015\text{ (部分)}\dots$ 满足要求，而取 $2$ 时只有 $60\%$ 不足 $80\%$）。 故 $w$ 至少定为 $3$。

（2）当 $w=3$ 时，居民用水量在 $[0,3]$ 内的单价为 $4$ 元/立方米；超过 $3$ 立方米的部分（即区间 $[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]$）中，超过 $3$ 的部分按 $10$ 元/立方米计费。 题目假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替： 各组右端点及对应频率、水费计算如下：

1. 区间 $[0,0.5)$，右端点 $0.5$，频率 $0.1$，水费 $0.5\times 4=2$ 元；
2. 区间 $[0.5,1)$，右端点 $1.0$，频率 $0.15$，水费 $1.0\times 4=4$ 元；
3. 区间 $[1,1.5)$，右端点 $1.5$，频率 $0.15$，水费 $1.5\times 4=6$ 元；
4. 区间 $[1.5,2)$，右端点 $2.0$，频率 $0.2$，水费 $2.0\times 4=8$ 元；
5. 区间 $[2,2.5)$，右端点 $2.5$，频率 $0.25$，水费 $2.5\times 4=10$ 元；
6. 区间 $[2.5,3)$，右端点 $3.0$，频率 $0.15$，水费 $3.0\times 4=12$ 元；
7. 区间 $[3,3.5)$，右端点 $3.5$，频率 $0.05$，水费 $3\times 4+(3.5-3)\times 10=12+5=17$ 元；
8. 区间 $[3.5,4)$，右端点 $4.0$，频率 $0.05$，水费 $3\times 4+(4.0-3)\times 10=12+10=22$ 元；
9. 区间 $[4,4.5)$，右端点 $4.5$，频率 $0.05$，水费 $3\times 4+(4.5-3)\times 10=12+15=27$ 元。

计算人均水费（加权平均数）： $\bar{y}=2\times 0.1+4\times 0.15+6\times 0.15+8\times 0.2+10\times 0.25+12\times 0.15+17\times 0.05+22\times 0.05+27\times 0.05$ $=0.2+0.6+0.9+1.6+2.5+1.8+0.85+1.1+1.35$ $=10.9$ 元。 故估计该市居民该月的人均水费为 $10.9$ 元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图中的频率计算、百分位数估计、分段函数求期望。
2. 核心方法：面积代表频率法、分段加权求均值法。
3. 避坑指南：第 (1) 问注意直方图纵轴是“$\frac{\text{频率}}{\text{组距}}$”，计算某组频率必须乘以组距 $0.5$；第 (2) 问超出的部分要严格按阶梯单价（前 $3$ 立方米 $4$ 元，超出部分 $10$ 元）分别计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考概率统计应用题中的经典“阶梯水价/电价”模型。
2. 结论推广：此类涉及社会民生政策计算的试题，核心在于将文字语言准确转化为数学的分段函数与概率统计模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-03 单-统计图表
• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
• 2017-全国卷III理-03 单-统计图表

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