2016-北京卷理-02 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划、二元一次不等式组表示的平面区域，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 若 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}2x-y\le 0\\ x+y\le 3\\ x\ge 0\end{array}$，则 $2x+y$ 的最大值为 ()

A. 0　　　　　　　B. 3　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：在直角坐标系中画出直线 $2x-y=0$，$x+y=3$ 以及 $x=0$。根据不等号方向确定阴影区域。该可行域是一个以 $(0,0)$，$(0,3)$ 以及两直线交点为顶点的三角形区域。

2. 确定目标函数几何意义：令 $z=2x+y$，变形为 $y=-2x+z$。这代表一组斜率为 $-2$ 的平行直线，$z$ 为该直线在 $y$ 轴上的截距。

3. 寻找最优解：平移直线 $y=-2x+z$，观察当直线经过可行域哪个顶点时，截距 $z$ 取得最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定交点： 联立方程组 $\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ x+y=3\end{array}$， 两式相加得 $3x=3⟹x=1$。 代入得 $y=2$。 记该交点为 $A(1,2)$。
2. 分析可行域顶点： 可行域的三个顶点分别为 $O(0,0)$，$B(0,3)$，$A(1,2)$。
3. 代入目标函数计算：

• 当经过 $O(0,0)$ 时，$z=2(0)+0=0$；
• 当经过 $B(0,3)$ 时，$z=2(0)+3=3$；
• 当经过 $A(1,2)$ 时，$z=2(1)+2=4$。

4. 结论： 由图象平移可知（目标函数直线斜率为 $-2$，比边界线 $x+y=3$ 的斜率 $-1$ 更陡），直线经过点 $A(1,2)$ 时，$z$ 取得最大值 $4$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 斜率关系判断：在不画图的情况下，可以通过比较目标函数斜率与边界线斜率的大小，快速判定最值点落在哪个交点上。
• 易错点：注意不等式 $x\ge 0$ 限定了区域在 $y$ 轴右侧；$2x-y\le 0⟹y\ge 2x$ 区域在直线上方。
• 线性规划的核心是“找准域，算对点，移好线”。对于这种简单的封闭三角形区域，通常最大值就在顶点处产生。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若目标函数改为 $z=x-y$，其最大值和最小值分别是多少？
2. 知识关联：线性规划在实际应用中常用于资源分配、利润最大化等场景，是运筹学的基础。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

专题合集 (Series)