2016-北京卷理-08 单-集合

本题导读

本题考查逻辑推理与证明、集合与计数原理，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 ()

A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球

D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

🔍【思路分析】

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1. 梳理规则：

• 每次取2球（记为 $B_1,B_2$），其中 $B_1\to$ 甲盒。
• 若 $B_1$ 是红球，则 $B_2\to$ 乙盒。
• 若 $B_1$ 是黑球，则 $B_2\to$ 丙盒。

2. 分类讨论单次取球情况：

• 情况 ①：(红, 红) $⟹$ 甲红，乙红。
• 情况 ②：(红, 黑) $⟹$ 甲红，乙黑。
• 情况 ③：(黑, 红) $⟹$ 甲黑，丙红。
• 情况 ④：(黑, 黑) $⟹$ 甲黑，丙黑。

3. 建立变量关系：设总球数为 $2n$，则红球 $n$ 个，黑球 $n$ 个。设甲盒中有红球 $x$ 个，黑球 $y$ 个（则 $x+y=n$）。

• 根据规则，乙盒中球的总数 = 甲盒中红球数 = $x$。
• 丙盒中球的总数 = 甲盒中黑球数 = $y$。

4. 利用守恒定律推导：红球总数 = 甲红 + 乙红 + 丙红 = $n$。结合已知等式进行代换。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 设袋中共有球 $2n$ 个，其中红球 $n$ 个，黑球 $n$ 个。 经过若干次操作后，袋中球全部入盒。 设甲盒中红球个数为 $x$，黑球个数为 $y$。 根据取球规则：

1. 放入乙盒的球，其前提是对应的甲盒球为红球。所以 乙盒球总数 = 甲盒红球数 = $x$。
2. 放入丙盒的球，其前提是对应的甲盒球为黑球。所以 丙盒球总数 = 甲盒黑球数 = $y$。

设乙盒中红球为 $r_{乙}$，黑球为 $b_{乙}$；丙盒中红球为 $r_{丙}$，黑球为 $b_{丙}$。 则有： $r_{乙}+b_{乙}=x$ （等式 1） $r_{丙}+b_{丙}=y$ （等式 2）

根据袋中红球总数为 $n$ 的守恒关系： 红球总数 = 甲红 + 乙红 + 丙红 $n=x+r_{乙}+r_{丙}$ 又因为 $n=x+y$（甲盒球总数等于操作次数）， 所以 $x+y=x+r_{乙}+r_{丙}⟹y=r_{乙}+r_{丙}$。

将 $y=r_{乙}+r_{丙}$ 代入等式 2 中： $r_{乙}+r_{丙}=r_{丙}+b_{丙}$ 消去 $r_{丙}$ 得： $r_{乙}=b_{丙}$。 即：乙盒中红球的个数等于丙盒中黑球的个数。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 变量设置：在逻辑推理题中，合理设置变量（如甲盒红黑数）并建立等量方程是解题核心。
• 守恒思想：本题利用了“球的总数不变”和“各颜色球总数不变”这两个隐含条件。
• 北京卷的压轴选择题往往不考复杂的计算，而是考查思维的严密性。本题如果直接联想“甲红决定乙，甲黑决定丙”，通过简单的加减法即可得出结论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目问乙盒中黑球与丙盒中红球的关系？（由 $x=r_{乙}+b_{乙}$ 和 $n=y+r_{丙}+b_{丙}=n$ 推导，同理可得 $b_{乙}=r_{丙}$）。
2. 知识关联：本题与概率中的条件概率背景相似，但纯属逻辑计数问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-01 填-集合
• 2017-全国卷III文-01 单-集合
• 2017-全国卷III理-01 单-集合

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