2016-北京卷理-13 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质（渐近线、焦距）、等轴双曲线，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的渐近线为正方形 $OABC$ 的边 $OA,OC$ 所在的直线，点 $B$ 为该双曲线的焦点.若正方形 $OABC$ 的边长为 $2$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析渐近线关系：正方形的邻边 $OA$ 与 $OC$ 互相垂直。因为它们是双曲线的渐近线，说明该双曲线的两条渐近线互相垂直。

2. 确定等轴双曲线：当双曲线的渐近线互相垂直时，该双曲线为等轴双曲线，即 $a=b$。此时渐近线方程为 $y=\pm x$。

3. 定位焦点：正方形 $OABC$ 的顶点 $O$ 在原点，且 $OA,OC$ 在渐近线上（即与坐标轴成 $45^{\circ }$ 角）。由于 $B$ 是焦点，且 $B$ 在对角线 $OB$ 上，根据对称性，焦点必在 $x$ 轴（或 $y$ 轴）上。

4. 计算参数：利用正方形边长求出对角线 $OB$ 的长度，此长度即为半焦距 $c$。再结合 $a^2+b^2=c^2$ 和 $a=b$ 求解。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 判定等轴双曲线： 因为正方形 $OABC$ 的边 $OA\perp OC$，且 $OA,OC$ 为双曲线的渐近线， 所以双曲线的两条渐近线互相垂直，斜率乘积为 $-1$。 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 由 $\frac{b}{a}\cdot (-\frac{b}{a})=-1$ 得 $a^2=b^2$，即 $a=b$。

2. 确定 $c$ 的值： 正方形 $OABC$ 的边长为 $2$。 对角线 $OB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。 由于 $B$ 是焦点，且由渐近线对称性知焦点在正方形的角平分线（坐标轴）上， 所以半焦距 $c=|OB|=2\sqrt{2}$。

3. 求解 $a$： 在双曲线中，$a^2+b^2=c^2$。 因为 $a=b$，所以 $2a^2=c^2$。 $2a^2=(2\sqrt{2}{)}^2=8$。 $a^2=4$。 因为 $a>0$，所以 $a=2$。

故答案为 2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心结论：渐近线互相垂直 $⟺$ 离心率 $e=\sqrt{2}$ $⟺$ 等轴双曲线 ($a=b$)。
• 几何直观：在解析几何中，看到“正方形”、“垂直”等词汇，要敏锐捕捉斜率和长度的特殊关系。
• 本题易错点在于能否准确将 $OB$ 的长度对应到 $c$。只要画出草图，发现 $B$ 点恰好落在坐标轴上，问题迎刃而解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目改为“正方形的对角线在渐近线上”，结论会如何？
2. 知识关联：本题将平面几何图形（正方形）与圆锥曲线（双曲线）完美结合，是北京卷填空题压轴位置常见的命题风格。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-全国卷III文-14 填-双曲线
• 2017-全国卷III理-05 单-双曲线

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