2016-北京卷理-14 填-导数

本题导读

本题考查分段函数的性质、利用导数研究函数的极值与最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3-3x,& x\le a\\ -2x,& x>a\end{array}$. ① 若 $a=0$，则 $f(x)$ 的最大值为 $\underline{}$； ② 若 $f(x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析子函数性质：

• 令 $g(x)=x^3-3x$，其导数 $g^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。
  • 极大值点为 $x=-1$，$g(-1)=2$；极小值点为 $x=1$，$g(1)=-2$。
• 令 $h(x)=-2x$，这是一条斜率为负的射线，在其定义域内单调递减。

2. 第一问（$a=0$）：

• 当 $x\le 0$ 时，$f(x)=x^3-3x$。在此范围内，最大值为极大值 $g(-1)=2$。
• 当 $x>0$ 时，$f(x)=-2x<0$。
• 比较两段，最大值为 $2$。

3. 第二问（无最大值）：

• 核心逻辑：若函数要“无最大值”，必须让 $h(x)$ 在 $x\to a^{+}$ 时的极限值（即开区间端点值 $-2a$）大于 $g(x)$ 在其定义域 $(-\infty ,a]$ 上的所有值。
• 观察 $g(x)$ 的极大值 $2$（位于 $x=-1$）。

  • 若 $a\ge -1$，则 $g(x)$ 在 $x\le a$ 时能取到极大值 $2$。此时若要无最大值，需满足空心端点值 $-2a>2$，且 $-2a>g(a)$。

  • 若 $a<-1$，则 $g(x)$ 在 $x\le a$ 上单调递增，其最大值为 $g(a)$。此时若要无最大值，只需空心端点值 $-2a>g(a)$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

解： ① 当 $a=0$ 时，$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3-3x,& x\le 0\\ -2x,& x>0\end{array}$。 对于 $x\le 0$ 段，由导数可知在 $x=-1$ 处取得极大值 $f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)=2$。 对于 $x>0$ 段，$f(x)=-2x<0$。 综上，$f(x)$ 的最大值为 $2$。

② 分析 $f(x)$ 无最大值的条件： 由于当 $x>a$ 时，$f(x)=-2x$ 为减函数且无最大值（开区间），若整体函数无最大值，则必须满足该段的上极限（即空心点 $-2a$）不被另一段函数值覆盖，且大于另一段的最大值。

1. 若 $a<-1$： 此时 $x\le a$ 位于 $g(x)$ 的增区间上，$g(x)$ 的最大值为 $g(a)=a^3-3a$。 若要无最大值，只需满足 $-2a>a^3-3a$。 整理得 $a^3-a<0⟹a(a-1)(a+1)<0$。 因为 $a<-1$，上式恒成立。故 $a\in (-\infty ,-1)$ 符合。

2. 若 $a\ge -1$： 此时 $x\le a$ 段包含了极大值点 $x=-1$，该段的最大值为 $g(-1)=2$（或 $g(a)$，取两者中较大者）。 若要无最大值，需满足 $-2a>g(-1)=2$ 且 $-2a>g(a)$。 由 $-2a>2$ 得 $a<-1$。这与前提 $a\ge -1$ 矛盾。

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,-1)$。

故答案为：$2$；$(-\infty ,-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 无最值的判定：对于分段函数，如果其中一段是开区间（如 $x>a$）且在该方向上单调（如减函数），那么只要这个“缺口”处的极限值比另一段的所有值都大，函数就无法取到那个最大值。
• 极大值点的影响：本题的关键在于参数 $a$ 是否越过了 $g(x)$ 的极大值点 $x=-1$。
• 此类题目最直观的方法是动态画图。想象一条射线 $y=-2x$ 的起点随 $a$ 移动，看它什么时候能“盖住”左侧曲线的波峰。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目要求 $f(x)$ 有最大值，则 $a$ 的范围是多少？（答案：$[-1,+\infty )$）。
2. 知识关联：本题体现了数学中对“界”的理解，是微积分初步中连续性与最值定理的典型应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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