2016-北京卷理-18 解-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线方程）、利用导数研究函数的单调性。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 设函数 $f(x)=x{e}^{a-x}+bx$，曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为 $y=(e-1)x+4$.

(1)求 $a,b$ 的值；

(2)求 $f(x)$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求参数）：

• 切点性质：点 $(2,f(2))$ 在切线上，代入切线方程求出 $f(2)$ 的具体数值。
• 导数性质：切线斜率 $k=f^{\prime }(2)=e-1$。
• 建立方程组：求出 $f^{\prime }(x)$，利用 $f(2)$ 和 $f^{\prime }(2)$ 的表达式建立关于 $a,b$ 的方程组求解。

2. 第二问（单调性）：

• 将 $a,b$ 代入 $f^{\prime }(x)$。
• 由于 $f^{\prime }(x)$ 的正负号不容易直接判断，观察其结构，可以构造辅助函数 $g(x)$ 处理非指数部分。
• 通过对辅助函数 $g(x)$ 求导分析其最值，从而判定 $f^{\prime }(x)$ 是否恒大于（或小于）0。

✅【答案】

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（1）𝑎=2，𝑏=e.（2）𝑓(𝑥)在𝐑上单调递增，无减区间.

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)由切线方程 $y=(e-1)x+4$ 可知： 当 $x=2$ 时，$f(2)=(e-1)\cdot 2+4=2e+2$。 且切线斜率 $k=f^{\prime }(2)=e-1$。 对 $f(x)=x{e}^{a-x}+bx$ 求导得： $f^{\prime }(x)=e^{a-x}+x\cdot e^{a-x}\cdot (-1)+b=(1-x)e^{a-x}+b$。 代入 $x=2$ 建立方程组： $\{\begin{array}{l}2e^{a-2}+2b=2e+2\\ (1-2)e^{a-2}+b=e-1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{e}^{a-2}+b=e+1\\ -e^{a-2}+b=e-1\end{array}$ 两式相加得 $2b=2e⟹b=e$。 代入得 $e^{a-2}=1⟹a-2=0⟹a=2$。 所以 $a=2,b=e$。

(2)由(1)知 $f(x)=x{e}^{2-x}+ex$， $f^{\prime }(x)=(1-x)e^{2-x}+e=e^{2-x}(1-x+e^{x-1})$。 由于 $e^{2-x}>0$，故 $f^{\prime }(x)$ 的正负由 $g(x)=1-x+e^{x-1}$ 决定。 对 $g(x)$ 求导：$g^{\prime }(x)=-1+e^{x-1}$。 令 $g^{\prime }(x)=0$，解得 $x=1$。

• 当 $x<1$ 时，$g^{\prime }(x)<0$，$g(x)$ 单调递减；
• 当 $x>1$ 时，$g^{\prime }(x)>0$，$g(x)$ 单调递增。 所以 $g(x)$ 的最小值为 $g(1)=1-1+e^{1-1}=1$。 因为 $g(x)\ge 1>0$ 恒成立， 所以 $f^{\prime }(x)>0$ 在 $\mathbb{R}$ 上恒成立。 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,+\infty )$，无单调递减区间。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 切线“三要素”：切点坐标、切点处导数、切线方程。已知其中之一往往能推导其他。
• 构造辅助函数的时机：当导函数呈现 $e^x+P(x)$ 等超越式形式且无法直接解出零点时，考虑二次求导研究其最值。
• 北京卷的导数大题第一问通常较为平易，重在基本功；第二问则考查思维深度。本题中 $g(x)\ge 1$ 的判断是整道题的灵魂。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若 $b$ 的值变小，函数是否会出现递减区间？（当 $b<-e$ 时，导数可能出现零点）。
2. 知识关联：本题考查了指数函数与多项式结合的单调性分析，是高考导数压轴题的缩小版模型。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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