2016-四川卷文-13 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型与排列组合、对数的运算性质与整除性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 从 $2,3,8,9$ 任取两个不同的数值，分别记为 $a,b$，则 ${\log }_{a}b$ 为整数的概率是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从给定的 4 个数 $\{2,3,8,9\}$ 中任取两个不同的数分别作为底数 $a$ 和真数 $b$，总的取法数（有序数对或无序，由 ${\log }_{a}b$ 的底数与真数决定，因为 $a\ne b$ 且 $a>0,a\ne 1$）。
2. 计算所有可能的组合总数 $N=A_4^2=4\times 3=12$ 种（或根据排列考虑顺序）。
3. 找出满足 ${\log }_{a}b$ 为整数的组合 $(a,b)$ 个数，代入古典概型公式求解。

✅【答案】

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$\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

从 $2,3,8,9$ 任取两个不同的数值分别记为 $a,b$，由于底数 $a$ 不能为 1（这里刚好没有 1），所有可能的有序数对 $(a,b)$ 总数为： $N=4\times 3=12$ 种。 罗列所有组合并检查 ${\log }_{a}b$ 是否为整数：

• 若 $a=2$：
• $(2,3)⟹{\log }_{2}3$（不是整数）
• $(2,8)⟹{\log }_{2}8=3$（是整数）
• $(2,9)⟹{\log }_{2}9$（不是整数）
• 若 $a=3$：
• $(3,2)⟹{\log }_{3}2$（不是整数）
• $(3,8)⟹{\log }_{3}8$（不是整数）
• $(3,9)⟹{\log }_{3}9=2$（是整数）
• 若 $a=8$：
• $(8,2)⟹{\log }_{8}2=\frac{1}{3}$（不是整数）
• $(8,3)⟹{\log }_{8}3$（不是整数）
• $(8,9)⟹{\log }_{8}9$（不是整数）
• 若 $a=9$：
• $(9,2)⟹{\log }_{9}2=\frac{1}{2}$（不是整数）
• $(9,3)⟹{\log }_{9}3=\frac{1}{2}$（不是整数）
• $(9,8)⟹{\log }_{9}8$（不是整数）

满足 ${\log }_{a}b$ 为整数的组合共有 2 种：$(2,8)$ 和 $(3,9)$。 因此，所求的概率为： $P=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。 故答案为 $\frac{1}{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 古典概型、对数的定义与性质。
2. 核心方法: 有序罗列与穷举检验法。
3. 避坑指南：注意 ${\log }_{a}b$ 中 $a$ 作为底数既不能为 1 且不等于 $b$，且排列时有序数对 $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考概率与对数交汇的基础填空题。
2. 结论推广: 涉及对数值为整数的概率问题通常通过幂的底数与指数关系进行快速筛选。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II理-06 单-排列组合
• 2017-浙江卷-16 填-排列组合
• 2017-上海卷-02 填-排列数

专题合集 (Series)