2016-四川卷文-14 填-函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性与周期性、分段求值与递推代入法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 若函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的周期为 2 的奇函数，当 $0<x<1$ 时，$f(x)=4^x$，则 $f\left(-\frac{5}{2}\right)+f(2)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用函数的奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$ 将负自变量转化。
2. 利用函数的周期性 $f(x+T)=f(x)$（其中周期 $T=2$）将自变量化简到已知解析式所在的区间 $(0,1)$ 内。
3. 分别计算 $f\left(-\frac{5}{2}\right)$ 和 $f(2)$ 的值，最后相加得出结果。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的周期为 2 的奇函数：

1. 计算 $f\left(-\frac{5}{2}\right)$：

• 首先利用奇函数性质：$f\left(-\frac{5}{2}\right)=-f\left(\frac{5}{2}\right)$。

• 再利用周期为 2 的性质，将自变量减去 $2\times 1=2$（或适当周期的整数倍）： $f\left(\frac{5}{2}\right)=f\left(\frac{5}{2}-2\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)$。

• 因为 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，代入已知解析式 $f(x)=4^x$ 得： $f\left(\frac{1}{2}\right)=4^{\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$。

• 故 $f\left(-\frac{5}{2}\right)=-f\left(\frac{5}{2}\right)=-f\left(\frac{1}{2}\right)=-2$。

2. 计算 $f(2)$：

• 利用周期为 2 的性质：$f(2)=f(2-2)=f(0)$。

• 由于 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，当其在 $x=0$ 处有定义时，$f(0)=0$（或者通过 $f(0)=-f(0)⟹2f(0)=0⟹f(0)=0$）。

• 故 $f(2)=0$。

3. 求和： $f\left(-\frac{5}{2}\right)+f(2)=-2+0=-2$。 故答案为 $-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 函数奇偶性、周期性。
2. 核心方法: 周期缩减与奇偶性转化法。
3. 避坑指南：应用周期性时，自变量加减的必须是周期的整数倍（本题周期 $T=2$，减去 2 或 4 均可），同时注意奇函数在原点有定义时 $f(0)=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数性质综合题中的基础常考题。
2. 结论推广: 若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的奇函数，则 $f(kT)=0(k\in \mathbb{Z})$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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