2016-四川卷文-16 解-概率

本题导读

本题考查频率分布直方图的性质与应用、用样本估计总体（概率与统计）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 $x$（吨），一位居民的月用水量不超过 $x$ 的部分按平价收费，超出 $x$ 的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $[0,0.5),[0.5,1),\cdots ,[4,4.5)$ 分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1) 求直方图中 $a$ 的值；

(2) 设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；

(3) 估计居民月均用水量的中位数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：根据所有小矩形的面积之和等于 1 列出方程，求解参数 $a$。
2. 第 (2) 问：计算月均用水量不低于 3 吨（即区间 $[3,4.5]$）的频率，再乘以总人口 30 万进行估计。
3. 第 (3) 问：通过计算各组的累积频率，找到累积频率达到 0.5 所在的区间，利用线性插值法求出中位数。

✅【答案】

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第（1）问为𝑎=0.3，第（2）问估计为3.6万人，第（3）问中位数为2.04.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求直方图中 $a$ 的值： 各组的组距均为 $\Delta x=0.5$。 根据频率分布直方图中所有矩形的面积之和为 1 可得： $0.5\times (0.16+0.12+a+0.42+0.50+a+0.12+0.08+0.04)=1$ $0.5\times (1.44+2a)=1$ $1.44+2a=2⟹2a=0.56⟹a=0.28$。

(2) 估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数： 月均用水量不低于 3 吨对应的区间为 $[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]$。 样本中月均用水量不低于 3 吨的频率为： $P=0.5\times (0.12+0.08+0.04)=0.5\times 0.24=0.12$。 用样本频率估计总体，该市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数约为： $30\text{ 万}\times 0.12=3.6\text{ 万}$（即 36000 人）。

(3) 估计居民月均用水量的中位数： 依次计算各组的累积频率：

• $[0,0.5)$ 的频率为 $0.5\times 0.16=0.08$；
• $[0.5,1)$ 的频率为 $0.5\times 0.12=0.06$（累积为 0.14）；
• $[1,1.5)$ 的频率为 $0.5\times 0.28=0.14$（累积为 0.28）；
• $[1.5,2)$ 的频率为 $0.5\times 0.42=0.21$（累积为 0.49）；
• $[2,2.5)$ 的频率为 $0.5\times 0.50=0.25$（累积为 0.74）。 因为前四组的累积频率之和为 $0.08+0.06+0.14+0.21=0.49<0.5$， 而前五组的累积频率之和为 $0.74>0.5$， 所以中位数位于区间 $[2,2.5)$ 内。 设中位数为 $m$，则： $0.49+(m-2)\times 0.50=0.50⟹0.50(m-2)=0.01⟹m-2=0.02⟹m=2.02$。 故居民月均用水量的中位数的估计值为 $2.02$ 吨。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图、总体估计、中位数计算。
2. 核心方法：面积和为1建方程、累积频率插值法。
3. 避坑指南：计算直方图面积时切勿漏乘组距 $\Delta x$；求中位数时需通过累积频率准确锁定所在的小矩形区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：全国各省高考数学概率与统计解答题的高频考点。
2. 结论推广：在频率分布直方图中，中位数左侧和右侧的小矩形面积均等于 0.5。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-03 单-统计图表
• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
• 2017-全国卷III理-03 单-统计图表

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