2016-四川卷理-04 单-排列组合

本题导读

本题考查排列组合（分步乘法计数原理）、整数的性质（奇数的判定），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 用数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ()

A. 24　　　　　　　B. 48　　　　　　　C. 60　　　　　　　D. 72

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析奇数条件：一个五位数是奇数，当且仅当它的个位数字是奇数。
2. 特殊位置优先：在 $1,2,3,4,5$ 这五个数字中，奇数有 $1,3,5$ 共 $3$ 个。因此，个位数字有 $3$ 种选法。
3. 安排其余位置：个位确定后，还剩下 $4$ 个数字。由于要求“没有重复数字”，剩下的 $4$ 个数字排列在万位、千位、百位、十位这 $4$ 个位置上，即为一个全排列 $A_4^4$。
4. 分步计数：根据分步乘法计数原理，将两步的种数相乘即可。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 第一步：安排个位 从奇数 $\{1,3,5\}$ 中任选一个放在个位，共有 $C_3^1$（即 $3$）种选法。
2. 第二步：安排其余四位 个位选定后，剩余 $4$ 个数字安排在剩余的 $4$ 个数位上，共有 $A_4^4$ 种排法。 计算得：$A_4^4=4\times 3\times 2\times 1=24$。
3. 计算总数： 根据分步乘法计数原理，奇数的个数为 $3\times 24=72$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 优先原则：处理排列组合问题时，有特殊限制的元素（如奇偶性）或特殊限制的位置（如首位不能为0、个位必须为奇数）应优先考虑。

• 乘法原理：本题体现了“先选后排”的分步思想，每一步的结果相乘得到最终答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为“其中的偶数个数”，则个位只能选 $\{2,4\}$，共有 $2\times A_4^4=48$ 种。注意到总排列数为 $A_5^5=120$，且 $72+48=120$，验证正确。
• 进阶陷阱：如果可选数字中包含 $0$（例如 $0,1,2,3,4$），则需要同时考虑个位（奇数限制）和首位（不能为0）两个限制，此时通常需要分类讨论或更加细致的分步。
• 常用数值：在考场上，熟记常用阶乘如 $4!=24,5!=120,6!=720$ 能极大提高运算速度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II理-06 单-排列组合
• 2017-浙江卷-16 填-排列组合
• 2017-上海卷-02 填-排列数

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