2016-四川卷理-06 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图（循环结构）、秦九韶算法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 $n,x$ 的值分别为 $3,2$，则输出 $v$ 的值为 ()

A. 9　　　　　　　B. 18　　　　　　　C. 20　　　　　　　D. 35

🔍【思路分析】

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1. 初始化变量：读取输入值 $n=3,x=2$。初始状态 $v=1,i=n-1=2$。
2. 进入循环结构：

• 判断条件：检查 $i\ge 0$ 是否成立。
• 更新变量：若成立，执行运算 $v=vx+i$，然后执行 $i=i-1$。

3. 追踪循环过程：

• 第一轮：$i=2\ge 0$，计算 $v$，更新 $i$。
• 第二轮：使用更新后的 $v$ 和 $i$ 再次判断并计算。
• 以此类推，直到 $i<0$ 跳出循环。

4. 确定输出值：跳出循环时 $v$ 的当前值即为结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 输入 $n=3,x=2$。 初始：$v=1,i=3-1=2$。

1. 第一轮循环： 判断 $i=2\ge 0$ 成立。 执行 $v=v\times x+i=1\times 2+2=4$。 更新 $i=i-1=2-1=1$。
2. 第二轮循环： 判断 $i=1\ge 0$ 成立。 执行 $v=v\times x+i=4\times 2+1=9$。 更新 $i=i-1=1-1=0$。
3. 第三轮循环： 判断 $i=0\ge 0$ 成立。 执行 $v=v\times x+i=9\times 2+0=18$。 更新 $i=i-1=0-1=-1$。
4. 结束循环： 判断 $i=-1\ge 0$ 不成立。 输出 $v=18$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 循环结构的判断：注意是“当型循环”还是“直到型循环”。本题是先判断后执行的结构。

• 秦九韶算法原理：该算法将 $n$ 次多项式的求值转化为 $n$ 次乘法和 $n$ 次加法。本程序模拟的是计算 $f(x)=x^3+2x^2+x+0$ 在 $x=2$ 时的值，即 $(((1\times x+2)\times x+1)\times x+0)$。

• 易错点：循环次数的控制常因为 $i=0$ 时是否进入循环而产生偏差，模拟时务必细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 算法效率：秦九韶算法（西方称霍纳算法 Horner’s method）极大地减少了多项式求值的运算次数。对于 $n$ 次多项式，普通方法需要 $n(n+1)/2$ 次乘法，而该算法仅需 $n$ 次乘法。
• 变式思考：如果将循环条件改为 $i>0$，输出结果会发生什么变化？（提示：少运行一次 $i=0$ 的加号操作）。
• 关联背景：四川卷常融入四川本地文化元素（如安岳秦九韶、广元武则天等），这种背景描述不影响数学解题，但增加了试卷的人文性。

🔗【关联脉络】

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B

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-08 单-程序框图
• 2017-全国卷III理-07 单-程序框图
• 2017-全国卷II文-10 单-程序框图

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