2017-全国卷III理-07 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图，以及变量的赋值与迭代。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 执行如图的程序框图

的程序框图，为使输出 $S$ 的值小于 91，则输入的正整数 $N$ 的最小值为（）

A. 5　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 3　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化：观察程序框图的起点，通常 $S=0,M=100,t=1$。
2. 模拟循环：

• 第一步：更新 $S=S+M$。
• 第二步：更新 $M=M\times (-1/10)$。
• 第三步：更新 $t=t+1$。
• 第四步：判断条件 $t>N$ 是否成立。若不成立，继续循环；若成立，输出 $S$。

3. 寻找临界点：计算每一次循环后 $S$ 的值，找到第一个使 $S<91$ 的时刻，并对应到 $N$ 的取值。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据程序框图的运行逻辑，我们进行列表模拟：

循环次数	$S$ (累加结果)	$M$ (下一项)	$t$ (计数器)	判定条件 ($t>N$)
初始	$0$	$100$	$1$	-
第 1 次	$0+100=100$	$-10$	$2$	若 $2>N$ 则跳出
第 2 次	$100+(-10)=90$	$1$	$3$	若 $3>N$ 则跳出

分析输出要求： 题目要求输出的 $S<91$。

• 如果在第 1 次循环结束时就跳出，输出的 $S=100$，不满足 $S<91$。
• 如果在第 2 次循环结束时跳出，输出的 $S=90$，满足 $90<91$。

确定 $N$ 的最小值： 为了在第 2 次循环结束时跳出，此时的 $t=3$ 必须满足判定条件 $t>N$。 即 $3>N$。 同时，第 1 次循环结束时 $t=2$，必须不满足条件以保证进入第二次循环，即 $2\le N$。 综合得：$2\le N<3$。 因为 $N$ 是正整数，所以 $N=2$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 循环次数的判定：注意“输出 $S$”这一动作发生在判定条件成立之后。本题的关键是搞清楚 $S$ 的改变与 $t$ 的改变哪一个在前。
• 列表模拟的严谨性：对于此类题目，手动列出前三次循环的变量值是最稳妥的办法，可以有效避免“差 1 错误”。
• 数列背景：本题实质是求等比数列 $100,-10,1,\dots$ 的前 $n$ 项和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 极限思想： 该数列是一个公比 $q=-1/10$ 的无穷等比数列，其和收敛于 $\frac{100}{1-(-0.1)}=\frac{100}{1.1}\approx 90.91$。由于 $S$ 的值在 90.91 上下波动（100, 90, 91, 90.9…），所以 $S$ 第一次小于 91 确实发生在第二项累加之后。

2. 变式思考： 如果题目要求输出 $S>90.9$，那么循环需要进行多少次？ （提示：第三次循环 $S=90+1=91$，第四次 $S=91-0.1=90.9$，满足条件需要更多的循环次数）。

3. 易错警示： 不要混淆 $t$ 的初始值。如果框图中 $t$ 是从 0 开始计数的，或者判定条件是 $t\ge N$，结果会完全不同。务必以框图给出的具体逻辑为准。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-15 填-程序框图
• 2009-广东卷文-11 填-程序框图
• 2012-新课标卷文-06 单-程序框图