2016-四川卷理-12 填-二项分布

本题导读

本题考查相互独立事件的概率、二项分布（n 次独立重复试验），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数 $X$ 的均值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 计算单次试验成功的概率 $p$： 同时抛掷两枚硬币，所有可能结果为：(正, 正), (正, 反), (反, 正), (反, 反)，共 4 种。 “成功”指至少一正，只有 (反, 反) 这一种情况是不成功的。 利用对立事件：$p=1-P(\text{两枚全反})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
2. 判断随机变量的分布： 由于试验进行了 2 次，且每次试验成功与否互不影响，因此成功次数 $X$ 服从二项分布，即 $X\sim B(n,p)$。 其中 $n=2,p=\frac{3}{4}$。
3. 求均值（期望）： 对于二项分布，其均值公式为 $E(X)=np$。

✅【答案】

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$\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求单次试验成功的概率： 抛掷两枚质地均匀的硬币，基本事件总数为 $2\times 2=4$。 “至少有一枚正面向上”的对立事件是“两枚都是反面向上”。 设单次试验成功的概率为 $p$，则： $p=1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$

2. 确定分布列： 在 2 次试验中成功次数 $X$ 服从二项分布 $X\sim B(2,\frac{3}{4})$。

3. 计算均值： 根据二项分布的均值性质： $E(X)=n\cdot p=2\times \frac{3}{4}=\frac{3}{2}$

故答案为 $\frac{3}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 二项分布模型识别：只要题目描述的是“$n$ 次试验”、“每次成功概率相同”、“求成功次数的均值/方差”，通常都是二项分布。
• 计算技巧：如果不用 $E(X)=np$ 公式，也可以列出分布列：
  • $P(X=0)=(1/4{)}^2=1/16$
  • $P(X=1)=C_2^1\cdot (3/4)\cdot (1/4)=6/16$
  • $P(X=2)=(3/4{)}^2=9/16$
  • $E(X)=0\cdot \frac{1}{16}+1\cdot \frac{6}{16}+2\cdot \frac{9}{16}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若要求 $X$ 的方差 $D(10)$，则利用公式 $D(10)=np(1-p)=2\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{3}{8}$。
• 关联考点：本题可与几何分布（如：直到第 $n$ 次才成功）或超几何分布（不放回抽样）对比考查，注意区分试验是否独立重复。
• 易错警示：注意“至少有一枚”这种描述，第一时间考虑对立事件通常能简化概率计算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
• 2014-上海卷理-10 填-概率计算公式
• 2014-上海卷理-13 填-数学期望

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