2016-四川卷理-15 填-函数

本题导读

本题考查新定义函数/变换、曲线方程与轨迹，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 在平面直角坐标系中，当 $P(x,y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为 $P^{\prime }\left(\frac{y}{x^2+y^2},\frac{-x}{x^2+y^2}\right)$；当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为它自身.平面曲线 $C$ 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 $C^{\prime }$ 定义为曲线 $C$ 的“伴随曲线”.现有下列命题：

① 若点 $A$ 的“伴随点”是点 $A^{\prime }$，则点 $A^{\prime }$ 的“伴随点”是点 $A$；

② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；

③ 若曲线 $C$ 关于 $x$ 轴对称，则其“伴随曲线” $C^{\prime }$ 关于 $y$ 轴对称；

④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线.

其中的真命题是 $\underline{}$（写出所有真命题的序列）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 ①（变换的迭代性）： 设 $P(x,y)$ 变换为 $P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$。将 $x^{\prime },y^{\prime }$ 再次代入变换公式，看是否回到 $(x,y)$。注意分母 x^{\prime}^2+y^{\prime}^2 的化简。
2. 分析命题 ②（单位圆变换）： 单位圆方程为 $x^2+y^2=1$。将其点代入变换公式，得到 $x^{\prime }=y,y^{\prime }=-x$。通过 x^{\prime}^2+y^{\prime}^2 = y^2+(-x)^2 = 1 判断轨迹。
3. 分析命题 ③（对称性传递）： 若 $C$ 关于 $x$ 轴对称，则方程满足 $f(x,y)=f(x,-y)$。通过坐标替换研究 $C^{\prime }$ 的方程。
4. 分析命题 ④（轨迹类型）： 设直线方程为 $Ax+By+C=0$。利用 x = \frac{-y^{\prime}}{x^{\prime}^2+y^{\prime}^2}, y = \frac{x^{\prime}}{x^{\prime}^2+y^{\prime}^2} 进行反向代换（求逆变换），观察新方程的次数和形状。

✅【答案】

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②③

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 验证 ①： 设 $A(x,y)$，则 $A^{\prime }\left(\frac{y}{x^2+y^2},\frac{-x}{x^2+y^2}\right)$。记为 $(x^{\prime },y^{\prime })$。 则 x^{\prime}^2+y^{\prime}^2 = \frac{y^2+x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{1}{x^2+y^2}。 $A^{\prime }$ 的伴随点 $A^{\prime \prime }$ 的横坐标 x^{\prime\prime} = \frac{y^{\prime}}{x^{\prime}^2+y^{\prime}^2} = \frac{-x/(x^2+y^2)}{1/(x^2+y^2)} = -x。 因为 $x^{\prime \prime }=-x\ne x$（除非 $x=0$），所以 ① 错误。

2. 验证 ②： 单位圆上的点满足 $x^2+y^2=1$。 则其伴随点 $x^{\prime }=y,y^{\prime }=-x$。 x^{\prime}^2+y^{\prime}^2 = y^2+(-x)^2 = x^2+y^2 = 1。 变换前后点都在单位圆上，且变换是满射，故曲线是它自身。② 正确。

3. 验证 ③： 由 $x^{\prime }=\frac{y}{x^2+y^2},y^{\prime }=\frac{-x}{x^2+y^2}$ 可推得其逆变换为 x = \frac{-y^{\prime}}{x^{\prime}^2+y^{\prime}^2}, y = \frac{x^{\prime}}{x^{\prime}^2+y^{\prime}^2}。 若 $C$ 关于 $x$ 轴对称，则 $(x,y)\in C⟹(x,-y)\in C$。 对应到 $C^{\prime }$，即：\left(\frac{-y^{\prime}}{x^{\prime}^2+y^{\prime}^2}, \frac{x^{\prime}}{x^{\prime}^2+y^{\prime}^2}\right) \in C \implies \left(\frac{-y^{\prime}}{x^{\prime}^2+y^{\prime}^2}, \frac{-x^{\prime}}{x^{\prime}^2+y^{\prime}^2}\right) \in C。 观察右侧点：它是将左侧点的 $x^{\prime }$ 替换为了 $-x^{\prime }$。 即 $(x^{\prime },y^{\prime })\in C^{\prime }⟹(-x^{\prime },y^{\prime })\in C^{\prime }$，说明 $C^{\prime }$ 关于 $y$ 轴对称。③ 正确。

4. 验证 ④： 设直线 $x=1$。其伴随点满足 $x^{\prime }=\frac{y}{1+y^2},y^{\prime }=\frac{-1}{1+y^2}$。 消去 $y$：$\frac{x^{\prime }}{y^{\prime }}=-y⟹y=-\frac{x^{\prime }}{y^{\prime }}$。 代入 $y^{\prime }$ 的表达式：y^{\prime} = \frac{-1}{1+(x^{\prime}/y^{\prime})^2} = \frac{-y^{\prime}^2}{x^{\prime}^2+y^{\prime}^2}。 化简得 x^{\prime}^2+y^{\prime}^2+y^{\prime} = 0。这是一个圆，不是直线。④ 错误。

故答案为 ②③

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 新定义的拆解：这类题通常包含一个代数变换。第一时间尝试求出逆变换（即用 $x^{\prime },y^{\prime }$ 表示 $x,y$）是处理曲线对称性和轨迹问题的万能钥匙。

• 对称性的反转：本题变换中 $x^{\prime }$ 与 $y$ 相关，$y^{\prime }$ 与 $-x$ 相关，这种“交叉”关系导致了 $x$ 轴对称变为 $y$ 轴对称，体现了数学变换的奇妙。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 深度挖掘：该变换实质上是复平面上的反演变换与旋转的复合。令 $z=x+yi$，则其伴随点对应的复数 $z^{\prime }=\frac{y-xi}{|z{|}^2}=\frac{-i(x+yi)}{|z{|}^2}=\frac{-iz}{z\bar{z}}=\frac{-i}{\bar{z}}$。
• 变式思考：如果将定义改为 $P^{\prime }(\frac{x}{x^2+y^2},\frac{y}{x^2+y^2})$，这就是标准的反演变换，此时 ① 将会成立（反演变换的自反性）。
• 易错警示：在验证轨迹（如 ④）时，若直线过原点，轨迹可能是直线（扣除原点）；若不经原点，轨迹必为圆。不要想当然地认为线性方程变换后仍为线性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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