2016-四川卷理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理、余弦定理。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$，且 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{\sin C}{c}$.

(1)证明：$\sin A\sin B=\sin C$；

(2)若 $b^2+c^2-a^2=\frac{6}{5}bc$，求 $\tan B$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明）：

• 边角互化：观察已知等式 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{\sin C}{c}$，分母含有边长 $a,b,c$。利用正弦定理 $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$ 进行替换。
• 恒等变换：通分整理后会出现 $\sin B\cos A+\cos B\sin A$ 的结构，即 $\sin (A+B)$。
• 利用内角和：在三角形中 $\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C$。

2. 第二问（求解）：

• 寻找余弦：已知 $b^2+c^2-a^2=\frac{6}{5}bc$，这符合余弦定理 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 的结构，可直接求出 $\cos A$。
• 同角基本关系：求出 $\cos A$ 后利用平方关系求出 $\sin A$。
• 代入消元：将 $\sin A,\cos A$ 代入第一问得出的恒等式中，化为关于 $B$ 的三角函数方程，进而求出 $\tan B$。

✅【答案】

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（1）结论为sin𝐴sin𝐵=sin𝐶.（2）tan𝐵=4.

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)证明： 由正弦定理得 $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$（其中 $R$ 为外接圆半径）。 代入已知条件 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ 中，有： $\frac{\cos A}{2R\sin A}+\frac{\cos B}{2R\sin B}=\frac{\sin C}{2R\sin C}$ 消去 $2R$ 并通分得： $\frac{\sin B\cos A+\cos B\sin A}{\sin A\sin B}=\frac{\sin C}{\sin C}=1$ 所以 $\sin B\cos A+\cos B\sin A=\sin A\sin B$。 利用两角和的正弦公式，上式左边即为 $\sin (A+B)$。 在 $△ABC$ 中，$A+B+C=\pi$，所以 $\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C$。 故有 $\sin A\sin B=\sin C$。证毕。

(2)解： 由已知 $b^2+c^2-a^2=\frac{6}{5}bc$，根据余弦定理有： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{\frac{6}{5}bc}{2bc}=\frac{3}{5}$ 因为 $A\in (0,\pi )$，所以 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-(\frac{3}{5}{)}^2}=\frac{4}{5}$。 由(1)证得的结论可知：$\sin A\sin B=\sin (A+B)$。 展开得：$\sin A\sin B=\sin A\cos B+\cos A\sin B$。 代入 $\sin A=\frac{4}{5},\cos A=\frac{3}{5}$： $\frac{4}{5}\sin B=\frac{4}{5}\cos B+\frac{3}{5}\sin B$ 移项合并同类项得： $\frac{1}{5}\sin B=\frac{4}{5}\cos B$ 所以 $\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心思想：遇到边角混杂的等式，首要任务是利用正余弦定理进行“统一”。本题中，若将已知条件的 $\sin C$ 转化为 $c$，则会演变为 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{c/2R}{c}=\frac{1}{2R}$，同样可以推导。
• 内角和定理的巧妙运用：$\sin (A+B)=\sin C,\cos (A+B)=-\cos C$ 是解三角形题目中的常客。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若(2)中改为已知 $\tan A$，求 $\tan B$，则可以先利用 $\tan (A+B)$ 与 $\sin A\sin B$ 的关系进行转化。
• 解题技巧：在求 $\tan B$ 时，如果方程两边同时含有 $\sin B$ 和 $\cos B$，通常可以整式除以 $\cos B$ 直接构造正切。
• 易错警示：注意 $A,B$ 的范围。在解得 $\cos A$ 为正时，$A$ 为锐角；若 $\cos A$ 为负，则 $A$ 为钝角，这对后续 $\sin A$ 的符号及 $\tan B$ 的存在性有重要影响。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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