2016-天津卷文-04 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质、双曲线的渐近线与焦距，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的焦距为 $2\sqrt{5}$，且双曲线的一条渐近线与直线 $2x+y=0$ 垂直，则双曲线的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{4}-y^2=1$　　　　　　　　　　　　　B. $x^2-\frac{y^2}{4}=1$

C. $\frac{3x^2}{20}-\frac{3y^2}{5}=1$　　　　　　　　　　　D. $\frac{3x^2}{5}-\frac{3y^2}{20}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据焦距为 $2\sqrt{5}$ 得到 $2c=2\sqrt{5}⟹c=\sqrt{5}$，从而 $a^2+b^2=c^2=5$。
2. 根据双曲线的一条渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 与直线 $2x+y=0$（即 $y=-2x$）垂直，可知其斜率乘积为 $-1$，从而求出 $\frac{b}{a}$ 或 $\frac{a}{b}$ 的关系，联立求解 $a^2,b^2$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 由焦距为 $2\sqrt{5}$ 得 $2c=2\sqrt{5}⟹c=\sqrt{5}$，故 $a^2+b^2=5$。
• 直线 $2x+y=0$ 的斜率为 $-2$，其垂直直线的斜率为 $\frac{1}{2}$。 双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，故其一条渐近线的斜率为 $\frac{b}{a}$ 或 $-\frac{b}{a}$。 由垂直关系可得 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}⟹b=\frac{1}{2}a⟹a=2b⟹a^2=4b^2$。
• 联立 $\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=5\\ a^2=4b^2\end{array}$，解得 $4b^2+b^2=5⟹b^2=1$，进而 $a^2=4$。 故双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线、焦距、$a,b,c$ 关系。
2. 核心方法：方程组联立求解法。
3. 避坑指南：注意两条垂直直线的斜率乘积为 $-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考圆锥曲线基础选择题。
2. 结论推广：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-全国卷III文-14 填-双曲线
• 2017-全国卷III理-05 单-双曲线

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