2016-天津卷文-13 填-三角

本题导读

本题考查圆的弦长与相交弦定理、等腰三角形的性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 如图，$AB$ 是圆的直径，弦 $CD$ 与 $AB$ 相交于点 $E$，$BE=2AE=2$，$BD=ED$，则线段 $CE$ 的长为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据 $BE=2AE=2$ 求出 $AE=1$，进而得到直径 $AB=3$ 及半径 $R=1.5$。
2. 建立平面直角坐标系，利用圆的方程与等腰三角形 $EBD$（$BD=ED$）的几何条件求解点 $D$ 的坐标。
3. 利用相交弦定理 $CE\cdot ED=AE\cdot BE$ 求出线段 $CE$ 的长。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

已知 $BE=2AE=2$，可得 $AE=1$。 直径 $AB=AE+BE=1+2=3$，半径 $R=1.5$。 以圆心为坐标原点建立直角坐标系： $A(-1.5,0)$，$B(1.5,0)$，点 $E$ 的坐标为 $(-0.5,0)$。 圆的方程为 $x^2+y^2=2.25$。 设过点 $E$ 的弦 $CD$ 对应直线的倾斜角参数，结合 $BD=ED$，通过坐标运算可得点 $D$ 的坐标为 $(0.5,\sqrt{2})$。 此时 $E{D}^2=(0.5-(-0.5){)}^2+(\sqrt{2}{)}^2=1+2=3⟹ED=\sqrt{3}$。 根据圆的相交弦定理： $CE\cdot ED=AE\cdot BE⟹CE\cdot \sqrt{3}=1\times 2=2$。 解得线段 $CE=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。 故答案为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相交弦定理、圆的几何性质。
2. 核心方法：坐标法与相交弦定理结合。
3. 避坑指南：熟练掌握相交弦定理 $PA\cdot PB=PC\cdot PD$，能大幅简化计算过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何与平面几何交汇的经典题型。
2. 结论推广：圆内两条相交弦的积满足相交弦定理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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