2016-天津卷文-16 解-线性规划

本题导读

本题考查线性规划与约束条件、目标函数的优化与最值。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要 $A,B,C$ 三种主要原料.生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： （表格略：甲需 $A:4,B:8,C:3$；乙需 $A:5,B:5,C:10$） 现有 $A$ 种原料 200 吨，$B$ 种原料 360 吨，$C$ 种原料 300 吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产 1 车皮甲种肥料产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料产生的利润为 3 万元.分别用 $x,y$ 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.

(1) 用 $x,y$ 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2) 问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：根据原料消耗限制列出关于 $x,y$ 的线性不等式组（同时考虑车皮数为非负整数或实数约束），画出对应的平面可行域。
2. 第 (2) 问：建立目标函数 $z=2x+3y$，通过平移直线法或在可行域的各顶点处检验，确定能使利润达到最大最优解的车皮数及最大利润。

✅【答案】

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满足生产条件的数学关系式为⎧{{{{{⎨{{{{{⎩4𝑥+5𝑦⩽200,

✍【详细解析】

Abstract

(1) 列出满足生产条件的数学关系式： 设生产甲、乙两种肥料分别为 $x,y$ 车皮。 由题意和表格数据可得约束条件： $\{\begin{array}{l}4x+5y\le 200\\ 8x+5y\le 360\\ 3x+10y\le 300\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$ 相应的平面区域为由上述不等式组所确定的封闭多边形及其内部（可行域）。

(2) 求最大利润： 目标函数为 $z=2x+3y$。 将目标函数变形为斜截式直线方程：$y=-\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}$。 在可行域内平移直线 $y=-\frac{2}{3}x$，当直线经过可行域的某个顶点 $(x_0,y_0)$ 时，$z$ 取得最大值。 联立边界直线求解各顶点坐标：

• 经过联立边界交点计算可得最优解对应的顶点坐标。 经检验，当 $x=30,y=12$ 时，目标函数取得最大值： $z_{\max }=2\times 30+3\times 12=60+36=96$（万元）。 答：分别生产甲种肥料 30 车皮、乙种肥料 12 车皮时，能够产生最大的利润，最大利润为 96 万元。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 线性规划、约束条件、目标函数最值。
2. 核心方法: 图解法（顶点检验法）。
3. 避坑指南：列不等式时务必看清每种原料的消耗总量限制，且由于车皮数通常为整数，若交点不是整数需结合实际在邻近整点处验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划应用题的经典标准题型。
2. 结论推广: 线性规划的最值通常在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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