2016-天津卷理-02 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划、二元一次不等式组表示的平面区域，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 设变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+2\ge 0\\ 2x+3y-6\ge 0\\ 3x+2y-9\le 0\end{array}$，则目标函数 $z=2x+5y$ 的最小值为 ()

A. $-4$　　　　　　　B. $6$　　　　　　　C. $10$　　　　　　　D. $17$

🔍【思路分析】

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1. 画出可行域：在直角坐标系中分别画出三条直线 $x-y+2=0$、$2x+3y-6=0$、$3x+2y-9=0$，根据不等号的方向确定其围成的公共区域（阴影部分）。
2. 确定顶点坐标：解方程组求出阴影区域的三个顶点。
3. 平移目标直线：将目标函数变形为 $y=-\frac{2}{5}x+\frac{z}{5}$。由于斜率 $k=-2/5<0$，且截距与 $z$ 成正比，当直线向左下方平移至经过可行域底端点时，$z$ 取得最小值。
4. 代入求值：计算各顶点处的 $z$ 值，最小的即为答案。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 绘制区域： 不等式组表示的平面区域如图所示，是一个以 $A(3,0)$，$B(1,3)$，$C(0,2)$ 为顶点的三角形阴影区域。

• 直线 $2x+3y-6=0$ 与 $3x+2y-9=0$ 的交点为 $A(3,0)$；
• 直线 $x-y+2=0$ 与 $3x+2y-9=0$ 的交点为 $B(1,3)$；
• 直线 $x-y+2=0$ 与 $2x+3y-6=0$ 的交点为 $C(0,2)$。

2. 寻找最优解： 目标函数为 $z=2x+5y$，作直线 $l_0:2x+5y=0$。 平移直线 $l_0$，当直线经过点 $A(3,0)$ 时，直线在 $y$ 轴上的截距最小，此时 $z$ 取得最小值。
3. 计算最值： 将 $A(3,0)$ 代入目标函数： $z_{min}=2\times 3+5\times 0=6$。 （验证：代入点 $B(1,3)$ 得 $z=17$；代入点 $C(0,2)$ 得 $z=10$。$6$ 是最小值。）

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 作图准确性：线性规划题目的基础是图要画准，边界线的实虚（本题均为实线）和方向要搞清。

• 顶点代入法：对于简单的线性规划选择题，在确定可行域是有界多边形后，直接计算所有顶点的目标函数值并进行比较，通常比平移直线法更快速且不易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若目标函数改为 $z=x^2+y^2$，则求的是可行域内的点到原点距离的平方的最小值（即原点到边界线 $2x+3y-6=0$ 的距离平方）。
• 易错警示：注意目标函数中 $y$ 的系数。如果 $y$ 的系数为负，平移方向与截距的关系会反转，务必小心。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

专题合集 (Series)