2016-天津卷理-06 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质（实半轴、渐近线）、圆的方程，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 $A,B,C,D$ 四点，四边形 $ABCD$ 的面积为 $2b$，则双曲线的方程为 ()

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{3y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{4y^2}{3}=1$

C. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确几何元素：

• 双曲线实半轴长 $a=\sqrt{4}=2$，故圆的方程为 $x^2+y^2=4$。
• 双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm \frac{b}{2}x$。

2. 分析四边形 $ABCD$：

• 渐近线关于坐标轴和原点对称，且交点都在半径为 2 的圆上，故 $A,B,C,D$ 构成一个关于坐标轴对称的矩形。

3. 建立面积等式：

• 设第一象限交点 $A(x,y)$，则矩形面积 $S=2x\cdot 2y=4xy=2b$。
• 将 $y=\frac{b}{2}x$ 代入面积式得 $4x\cdot \frac{b}{2}x=2b⟹2b{x}^2=2b⟹x^2=1$。

4. 联立求解：将 $x^2=1$ 代入圆的方程求出 $y^2$，进而根据渐近线关系求出 $b^2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定方程： 由双曲线方程知 $a^2=4$，即实半轴长 $a=2$。 以原点为圆心，实半轴长为半径的圆方程为 $x^2+y^2=4$。 双曲线的渐近线方程为 $l:y=\pm \frac{b}{2}x$。

2. 点坐标与面积： 设第一象限内的交点为 $A(x,y)$，根据对称性，矩形的四个顶点分别为 $(x,y),(-x,y),(-x,-y),(x,-y)$。 矩形的边长分别为 $2x$ 和 $2y$，面积 $S=2x\cdot 2y=4xy=2b$。 因为 $A$ 在渐近线 $y=\frac{b}{2}x$ 上，代入面积式得： $4x\cdot (\frac{b}{2}x)=2b⟹2b{x}^2=2b$。 由于 $b>0$，得 $x^2=1$，即 $x=1$。

3. 求参数 b： 将 $x=1$ 代入圆的方程 $x^2+y^2=4$，得 $1+y^2=4⟹y^2=3$。 又 $A(1,y)$ 在渐近线 $y=\frac{b}{2}x$ 上，所以 $y=\frac{b}{2}\cdot 1=\frac{b}{2}$。 则 $y^2=\frac{b^2}{4}=3⟹b^2=12$。

4. 结论： 双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对称性应用：在解析几何中，利用图形关于坐标轴的对称性可以极大地简化坐标设定和面积表达。

• 渐近线理解：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线斜率为 $\pm \frac{b}{a}$，这是解决此类问题的核心公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为“以虚半轴长为半径”，则圆方程变为 $x^2+y^2=b^2$，解题逻辑一致但结果会随之改变。
• 关联考点：本题可与离心率结合，如求该双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{4+12}}{2}=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-全国卷III文-14 填-双曲线
• 2017-全国卷III理-05 单-双曲线

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