2016-天津卷理-13 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查函数的奇偶性（偶函数性质）、函数的单调性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且在区间 $(-\infty ,0)$ 上单调递增.若实数 $a$ 满足 $f(2^{|a-1|})>f(-\sqrt{2})$，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇偶性转化：由于 $f(x)$ 是偶函数，则 $f(-\sqrt{2})=f(\sqrt{2})$。不等式转化为 $f(2^{|a-1|})>f(\sqrt{2})$。
2. 确定正半轴单调性：偶函数在对称区间上的单调性相反。已知在 $(-\infty ,0)$ 上递增，则在 $(0,+\infty )$ 上递减。
3. 建立自变量不等式：因为 $2^{|a-1|}$ 和 $\sqrt{2}$ 均大于 0，且 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 递减，所以 $f(x_1)>f(x_2)⟺x_1<x_2$。
4. 求解代数不等式：解关于 $a$ 的指数及绝对值不等式。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}<a<\frac{3}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 单调性分析： 因为 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的偶函数，且在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增， 根据偶函数对称区间单调性相反的性质，可知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。

2. 不等式等价转化： 利用偶函数性质 $f(-x)=f(x)$，有 $f(-\sqrt{2})=f(\sqrt{2})$。 原不等式 $f(2^{|a-1|})>f(-\sqrt{2})$ 等价于： $f(2^{|a-1|})>f(\sqrt{2})$

3. 脱去函数符号： 由于 $2^{|a-1|}\in [1,+\infty )$ 且 $\sqrt{2}\in (0,+\infty )$，它们均落在 $f(x)$ 的递减区间内。 根据递减函数的定义： $2^{|a-1|}<\sqrt{2}$

4. 解不等式： 将 $\sqrt{2}$ 写成指数形式 $2^{\frac{1}{2}}$，得： $2^{|a-1|}<2^{\frac{1}{2}}$ 由于底数 $2>1$，指数函数递增，故： $|a-1|<\frac{1}{2}$ 解得： $-\frac{1}{2}<a-1<\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}<a<\frac{3}{2}$

最终答案为：$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 偶函数的核心结论：$f(x_1)>f(x_2)⟺f(|x_1|)>f(|x_2|)$。
• 单调性陷阱：处理复合不等式时，一定要先判断自变量是否在同一个单调区间内，并注意单调性的方向（增函数保留不等号，减函数反转不等号）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若 $f(x)$ 改为奇函数，且 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上递增，则原不等式应如何转化？
• 提示：利用 $f(-x)=-f(x)$ 将负号移出，或利用 $f(x_1)>f(x_2)⟺x_1>x_2$ 直接处理。
• 常用结论：若偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调，则 $f(a)>f(b)⟺|a|<|b|$（当在 $[0,+\infty )$ 递减时）或 $|a|>|b|$（当在 $[0,+\infty )$ 递增时）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

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