2016-天津卷理-14 填-参数方程

本题导读

本题考查抛物线的定义与标准方程、参数方程与普通方程的转化，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 设抛物线 $\{\begin{array}{l}x=2p{t}^2\\ y=2pt\end{array}$ ($t$ 为参数，$p>0$) 的焦点为 $F$，准线为 $l$.过抛物线上一点 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $B$.设 $C(\frac{7}{2}p,0)$，$AF$ 与 $BC$ 相交于点 $E$.若 $|CF|=2|AF|$，且 $△ACE$ 的面积为 $3\sqrt{2}$，则 $p$ 的值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 方程转化：消去参数 $t$，由 $t=\frac{y}{2p}$ 代入 $x$ 得 $y^2=2px$。确定焦点 $F(\frac{p}{2},0)$ 及准线 $l:x=-\frac{p}{2}$。
2. 利用定义：抛物线上点 $A$ 到焦点距离 $|AF|$ 等于到准线距离 $|AB|$。
3. 坐标定位：通过 $|CF|=2|AF|$ 求出 $|AF|$ 及点 $A$ 的横纵坐标。
4. 几何比例：由于 $AB\perp l$ 且 $l\perp x$ 轴，则 $AB\parallel x$ 轴。利用 $△ABE\sim △FCE$ 得到面积之间的比例关系。
5. 面积建模：将 $△ACE$ 的面积转化为含 $p$ 的代数式，解方程求 $p$。

✅【答案】

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$\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 基础参数提取： 抛物线普通方程为 $y^2=2px$ ($p>0$)，焦点 $F(\frac{p}{2},0)$，准线 $l:x=-\frac{p}{2}$。 因为 $C(\frac{7}{2}p,0)$，所以 $|CF|=\frac{7}{2}p-\frac{p}{2}=3p$。 由 $|CF|=2|AF|$ 得 $|AF|=\frac{3}{2}p$。

2. 确定点 A 坐标： 根据抛物线定义，$|AF|=x_A+\frac{p}{2}=\frac{3}{2}p$，解得 $x_A=p$。 代入 $y^2=2px$ 得 $y_A^2=2p^2$，取 $y_A=\sqrt{2}p$。即 $A(p,\sqrt{2}p)$。

3. 相似比分析： 作 $AB\perp l$，则 $B(-\frac{p}{2},\sqrt{2}p)$。注意到 $BC$ 经过点 $E$ 且 $AB\parallel FC$（都在水平方向上）。 在 $△ABE$ 与 $△FCE$ 中，由 $AB\parallel FC$ 得 $△ABE\sim △FCE$。 相似比为 $\frac{AB}{FC}=\frac{|AF|}{3p}=\frac{1.5p}{3p}=\frac{1}{2}$。 故 $\frac{AE}{EF}=\frac{1}{2}$，即 $AE=\frac{1}{3}AF$。

4. 面积计算： $△ACF$ 的面积 $S_{△ACF}=\frac{1}{2}\cdot |CF|\cdot y_A=\frac{1}{2}\times 3p\times \sqrt{2}p=\frac{3\sqrt{2}}{2}{p}^2$。 由于 $E$ 在 $AF$ 上且 $AE=\frac{1}{3}AF$，根据等高三角形面积比等于底边比： $S_{△ACE}=\frac{1}{3}{S}_{△ACF}=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{2}}{2}{p}^2=\frac{\sqrt{2}}{2}{p}^2$。 已知 $S_{△ACE}=3\sqrt{2}$，则 $\frac{\sqrt{2}}{2}{p}^2=3\sqrt{2}$，解得 $p^2=6$。 因为 $p>0$，所以 $p=\sqrt{6}$。

最终答案为：$\sqrt{6}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 抛物线第一定义：这是解决抛物线焦半径问题的首选工具。

• 图形结构识别：本题中 $AB\parallel x$ 轴是隐藏的几何关键，识别出相似三角形 $△ABE\sim △FCE$ 后，可以极大地简化点 $E$ 坐标的计算，直接利用面积比解题。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若 $|CF|=k|AF|$，则相似比如何变化？
• 提示：相似比将变为 $\frac{|AF|}{k|AF|}=\frac{1}{k}$，相应的面积分割比例也会随之改变。
• 常用结论：抛物线焦半径公式 $r=x+\frac{p}{2}$（开口向右）是连接几何距离与代数坐标的桥梁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

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