2016-山东卷文-04 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划与非线性目标函数、点到原点距离的平方的最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 若变量 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x+y⩽2,\\ 2x-3y⩽9,\\ x⩾0,\end{array}$ 则 $x^2+y^2$ 的最大值是 ()

A. 4　　　　　　　B. 9　　　　　　　C. 10　　　　　　　D. 12

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域（可行域）。
2. $x^2+y^2$ 的几何意义表示可行域内的点 $(x,y)$ 到原点 $(0,0)$ 的距离的平方。
3. 通过比较可行域的各个顶点到原点的距离平方的大小，确定最大值所在的位置。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

约束条件对应的边界直线方程为：

1. $x+y=2$
2. $2x-3y=9$
3. $x=0$（$y$ 轴） 联立边界求出可行域的顶点：

• 联立 (1) 和 (3)（即 $x=0,x+y=2$）：解得顶点 $A(0,2)$；
• 联立 (2) 和 (3)（即 $x=0,2x-3y=9$）：解得顶点 $B\left(0,-3\right)$；
• 联立 (1) 和 (2) $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x-3y=9\end{array}$： 由 $x=2-y$ 代入得 $2(2-y)-3y=9⟹4-2y-3y=9⟹-5y=5⟹y=-1$，$x=3$，即顶点 $C(3,-1)$。 计算各个顶点到原点 $(0,0)$ 的距离平方 $d^2=x^2+y^2$：
• 对于顶点 $A(0,2)$：$d_A^2=0^2+2^2=4$；
• 对于顶点 $B(0,-3)$：$d_B^2=0^2+(-3{)}^2=9$；
• 对于顶点 $C(3,-1)$：$d_C^2=3^2+(-1{)}^2=9+1=10$。 比较可知，距离平方的最大值为 10，在顶点 $C(3,-1)$ 处取得。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划、非线性目标函数的几何意义。
2. 核心方法：顶点穷举法（距离平方最大值在边界顶点取得）。
3. 避坑指南：切勿盲目套用线性目标函数的规律，非线性目标函数 $x^2+y^2$ 代表距离平方，必须计算各个顶点的坐标到原点的距离平方进行比较。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考线性规划中求非线性目标函数最值的经典题型。
2. 结论推广：形如 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$ 的最值问题均可转化为动点到定点距离的平方求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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