2016-山东卷文-09 单-函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性与周期性、抽象函数求值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$.当 $x<0$ 时，$f(x)=x^3-1$；当 $-1⩽x⩽1$ 时，$f(-x)=-f(x)$；当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)$，则 $f(6)=$ ()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. 0　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据条件 $f(-x)=-f(x)$ 可知函数 $f(x)$ 是奇函数。
2. 根据条件 $f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)$ 可知函数 $f(x)$ 是以 $T=1$ 为周期的周期函数。
3. 利用周期性将待求值 $f(6)$ 转化为已知定义域内的函数值求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

分析已知条件：

1. 奇偶性：当 $-1⩽x⩽1$ 时，$f(-x)=-f(x)$，说明 $f(x)$ 是奇函数（且 $f(0)=0$）。
2. 周期性：当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)$。设 $t=x-\frac{1}{2}$，则 $f(t+1)=f(t)$，这说明函数 $f(x)$ 的周期为 $T=1$。 利用周期性化简 $f(6)$： 因为周期 $T=1$，所以： $f(6)=f(6\times 1+0)=f(0)$。 由奇函数性质可知 $f(0)=0$（或者利用 $x<0$ 时的解析式结合周期递推）。 更直接地验证：利用周期性 $f(6)=f(5)=f(4)=f(3)=f(2)=f(1)$。 再由其他边界条件递推可得 $f(6)=0$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的奇偶性、函数的周期性。
2. 核心方法：利用平移关系推导周期 $f(x+T)=f(x)$。
3. 避坑指南：准确识别平移式 $f\left(x+\frac{1}{2}\right)=f\left(x-\frac{1}{2}\right)$ 对应的周期是 1 而不是 $\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数性质综合应用的经典抽象函数题。
2. 结论推广：若 $f(x+a)=f(x-a)$，则函数的周期为 $2a$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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