2016-山东卷文-10 单-几何证明

本题导读

本题考查导数的几何意义与切线斜率、函数图象的切线性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 若函数 $y=f(x)$ 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $y=f(x)$ 具有 $T$ 性质.下列函数中具有 $T$ 性质的是 ()

A. $y=\sin x$　　　　B. $y=\ln x$　　　　C. $y={\mathrm{e}}^x$　　　　D. $y=x^3$

🔍【思路分析】

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1. “具有 $T$ 性质”意味着函数图象上存在两点 $x_1,x_2$（$x_1\ne x_2$），使得在该两点处的切线斜率乘积为 $-1$，即 $f^{\prime }(x_1)\cdot f^{\prime }(x_2)=-1$。
2. 逐一求出四个选项中函数的导函数 $f^{\prime }(x)$，看其导函数的值域是否包含互为负倒数的两个数（即是否存在 $x_1,x_2$ 使得 $f^{\prime }(x_1)f^{\prime }(x_2)=-1$）。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

分析各个选项的导函数值域：

• 对于 (A) $y=\sin x$，其导数为 $f^{\prime }(x)=\cos x$，值域为 $[-1,1]$。若取 $x_1=0,x_2=\frac{\pi }{2}$，则 $f^{\prime }(0)=1,f^{\prime }(x_2)=0$，乘积不为 $-1$。但若存在 $f^{\prime }(x_1)f^{\prime }(x_2)=-1$，由于 $\cos x$ 的取值范围是 $[-1,1]$，存在 $f^{\prime }(x_1)=1$ 且 $f^{\prime }(x_2)=-1$（如 $x_1=0,x_2=\pi$），此时 $1\times (-1)=-1$，切线斜率乘积为 $-1$，即切线互相垂直，满足 $T$ 性质。
• 对于 (B) $y=\ln x$，其导数为 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$，值域为 $(0,+\infty )$，乘积不可能为负数。
• 对于 (C) $y={\mathrm{e}}^x$，其导数为 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x$，值域为 $(0,+\infty )$，乘积不可能为负数。
• 对于 (D) $y=x^3$，其导数为 $f^{\prime }(x)=3x^2$，值域为 $[0,+\infty )$，乘积不可能为负数。 因此，只有 $y=\sin x$ 的导数可以取到正负数且乘积为 $-1$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义、两条直线垂直的斜率关系 $k_1{k}_2=-1$。
2. 核心方法：转化法（转化为导函数值域能否包含互为负倒数的数）。
3. 避坑指南：两条切线垂直等价于其切线斜率之积为 $-1$，即导数值之积为 $-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考导数应用中的新定义创新题型。
2. 结论推广：若函数导函数的值域包含 $[-1,1]$ 或区间跨度包含互为负倒数，则该函数必定具有 $T$ 性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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