2016-山东卷文-14 填-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的标准方程与几何性质、离心率的计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 已知双曲线 $E:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$.矩形 $ABCD$ 的四个顶点在 $E$ 上，$AB,CD$ 的中点为 $E$ 的两个焦点，且 $2|AB|=3|BC|$，则 $E$ 的离心率是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用双曲线的对称性与矩形顶点在双曲线上的特征，设出顶点坐标。
2. 结合 $AB,CD$ 的中点为双曲线的两个焦点 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，推导矩形边长之间的关系。
3. 利用双曲线定义或坐标代入法建立 $a,b,c$ 的齐次方程，进而求出离心率 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

设双曲线的半焦距为 $c$，两焦点为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$。 因为矩形 $AB,CD$ 的中点分别为 $F_1,F_2$，且矩形关于 $x$ 轴对称。 不妨设顶点 $A$ 的横坐标为 $-c$，则 $AB$ 的长度与纵坐标有关。 根据矩形对称性与双曲线渐近线性质： 设 $AB=2y_0$，其中 $y_0$ 为顶点纵坐标，则 $|AB|=2y_0$。 由 $AB$ 中点为 $F_1(-c,0)$，将 $x=-c$ 代入双曲线方程 $\frac{(-c{)}^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1⟹\frac{c^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=1⟹y_0^2=b^2\left(\frac{c^2}{a^2}-1\right)=\frac{b^4}{a^2}$（因为 $c^2-a^2=b^2$），故 $y_0=\frac{b^2}{a}$。 因此 $|AB|=2y_0=\frac{2b^2}{a}$。 矩形宽 $|BC|$ 为两焦点之间的距离或横坐标差：由对称性可知 $|BC|=2c$（或根据矩形跨度）。 已知 $2|AB|=3|BC|$： $2\cdot \frac{2b^2}{a}=3\cdot (2c)⟹\frac{2b^2}{a}=3c⟹2b^2=3ac$。 因为 $b^2=c^2-a^2$，代入上式： $2(c^2-a^2)=3ac⟹2c^2-3ac-2a^2=0$。 两边同除以 $a^2$，得关于离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的一元二次方程： $2e^2-3e-2=0$ $(2e+1)(e-2)=0$。 解得 $e=2$（负值 $e=-\frac{1}{2}$ 舍去）。 故双曲线 $E$ 的离心率为 $2$。 故答案为 $2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线几何性质、离心率、矩形对称性。
2. 核心方法：坐标法与齐次方程求解离心率。
3. 避坑指南：准确理解“$AB,CD$ 的中点为焦点”意味着矩形竖直边关于焦点所在垂线对称，进而通过代入焦点横坐标求出纵坐标长度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解析几何中双曲线定义与性质的综合填空题。
2. 结论推广：圆锥曲线中的内接矩形或对称图形常利用坐标代入法和离心率定义化简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-全国卷III文-14 填-双曲线
• 2017-全国卷III理-05 单-双曲线

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