2016-山东卷文-20 解-导数

本题导读

本题考查导数的运算与函数的单调区间、函数的极值与参数取值范围。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 设函数 $f(x)=x\ln x-a{x}^2+(2a-1)x,a\in \mathbb{R}$.

(1) 令 $g(x)=f^{\prime }(x)$，求函数 $g(x)$ 的单调区间；

(2) 已知 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极大值，求实数 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：先求出函数 $f(x)$ 的导函数 $g(x)=f^{\prime }(x)$，再对 $g(x)$ 求导研究其导数的符号，进而确定 $g(x)$ 的单调区间。
2. 第 (2) 问：利用 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值的必要条件 $f^{\prime }(1)=0$ 求出候选参数 $a$，再通过检验充分性（或导数符号在 $x=1$ 两侧是否变号）确定 $a$ 的取值范围。

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实数 $a$ 的取值范围是 $a\ne \frac{1}{2}$（或 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$）

✍【详细解析】

Abstract

函数的定义域为 $(0,+\infty )$。 求 $f(x)$ 的导函数： $f^{\prime }(x)=(\ln x+x\cdot \frac{1}{x})-2ax+2a-1=\ln x+1-2ax+2a-1=\ln x-2ax+2a$。

(1) 设 $g(x)=f^{\prime }(x)=\ln x-2ax+2a$。 求 $g(x)$ 的导数： $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-2a=\frac{1-2ax}{x}$。

• 当 $a\le 0$ 时，$1-2ax>0$ 恒成立（$x>0$），此时 $g^{\prime }(x)>0$ 恒成立，故 $g(x)$ 的单调递增区间为 $(0,+\infty )$，无单调递减区间。
• 当 $a>0$ 时，令 $g^{\prime }(x)>0⟹x<\frac{1}{2a}$；令 $g^{\prime }(x)<0⟹x>\frac{1}{2a}$。 此时 $g(x)$ 的单调递增区间为 $\left(0,\frac{1}{2a}\right)$，单调递减区间为 $\left(\frac{1}{2a},+\infty \right)$。

(2) 已知 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值， 则必须满足必要条件 $f^{\prime }(1)=0$： $f^{\prime }(1)=\ln 1-2a(1)+2a=0-2a+2a=0$。 等等，重新代入检查： $f^{\prime }(1)=\ln 1-2a(1)+2a=0$ 恒成立，这意味着无论 $a$ 取何值，$f^{\prime }(1)=0$ 均成立！ 我们需要利用极值的充分条件：函数在 $x=1$ 处的左右两侧导数符号必须异号。 计算导函数在 $x=1$ 附近的符号变化： $f^{\prime }(x)=\ln x-2ax+2a$。 若 $x=1$ 是极值点，则 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=1$ 两侧必须变号。 对 $f^{\prime }(x)$ 求导得 $f^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{x}-2a$。当 $x=1$ 时，$f^{\prime \prime }(1)=1-2a$。

• 若 $1-2a\ne 0$（即 $a\ne \frac{1}{2}$），则 $x=1$ 处导数两侧变号，故 $x=1$ 是极值点。
• 若 $1-2a=0⟹a=\frac{1}{2}$，此时 $f^{\prime }(x)=\ln x-x+1$。由前面的经典结论知 $\ln x-x+1\le 0$（当 $x=1$ 时取等号，且在 $x=1$ 两侧符号不变），故 $a=\frac{1}{2}$ 时不是极值点。 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $a\ne \frac{1}{2}$（或 $\left(-\infty ,\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的运算、函数单调性、极值的必要与充分条件。
2. 核心方法：二次求导法与极值变号检验法。
3. 避坑指南：利用 $f^{\prime }(x_0)=0$ 求出参数后，切记必须检验该点两侧导数是否变号，防止漏掉充要条件的严密性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：全国卷高考导数压轴题中的常规极值与参数范围问题。
2. 结论推广：可导函数在某点取得极值的充要条件是该点导数为 0 且两侧导数符号相反。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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