2016-山东卷理-04 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划、非线性目标函数的最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\le 2\\ 2x-3y\le 9\\ x\ge 0\end{array}$，则 $x^2+y^2$ 的最大值是 ()

A. 4　　　　　　　B. 9　　　　　　　C. 10　　　　　　　D. 12

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定可行域：在平面直角坐标系中画出三个不等式共同围成的封闭区域（三角形）。
2. 明确几何意义：目标函数 $z=x^2+y^2$ 的几何意义是可行域内的点 $P(x,y)$ 到原点 $O(0,0)$ 的距离的平方，即 $z=|OP{|}^2$。
3. 寻找最远点：观察图象，原点到可行域内各点的最大距离通常在区域的顶点处取得。
4. 计算比较：分别求出可行域的三个顶点坐标，计算它们到原点的距离平方，取最大值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 作图并求顶点： 由约束条件作出的可行域（如图中灰色阴影部分所示），其顶点为 $A,B,C$。

• 令 $x=0$，代入 $2x-3y=9$ 得 $A(0,-3)$；
• 令 $x=0$，代入 $x+y=2$ 得 $C(0,2)$；
• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 2x-3y=9\end{array}$，解得顶点 $B(3,-1)$。

2. 计算各顶点到原点的距离平方：

• $z_A=0^2+(-3{)}^2=9$；

• $z_C=0^2+2^2=4$；

• $z_B=3^2+(-1{)}^2=9+1=10$。

3. 得出结论： 比较三个顶点的数值，$10>9>4$。 因此，$x^2+y^2$ 的最大值为 10。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 常见目标函数的几何意义：
  • $z=ax+by$：直线的截距。
  • $z=x^2+y^2$：到原点距离的平方。
  • $z=\frac{y-b}{x-a}$：到定点 $(a,b)$ 连线的斜率。
• 陷阱提醒：求最小值时要格外小心，如果原点在区域内部，最小值为 0；如果原点在外部，最小值可能是原点到边界的垂线段长度的平方。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 知识关联： 本题本质上是寻找能覆盖可行域的最小圆的半径平方，即圆心在原点，半径不断扩大直至刚好经过可行域内最远的点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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