2016-山东卷理-09 单-函数

本题导读

本题考查函数的周期性、函数的奇偶性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$.当 $x<0$ 时，$f(x)=x^3-1$；当 $-1\le x\le 1$ 时，$f(-x)=-f(x)$；当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f(x+\frac{1}{2})=f(x-\frac{1}{2})$.则 $f(6)=$ ()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定周期性：由 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f(x+\frac{1}{2})=f(x-\frac{1}{2})$，令 $t=x-\frac{1}{2}$，则 $f(t+1)=f(t)$。这说明函数在相应区间内具有周期 $T=1$。
2. 转化目标值：利用周期性，$f(6)=f(5)=f(4)=\cdots =f(1)$。
3. 利用奇偶性：题目给出 $-1\le x\le 1$ 时，$f(-x)=-f(x)$，即在此区间内函数为奇函数。因此 $f(1)=-f(-1)$。
4. 代入解析式：因为 $-1<0$，符合 $x<0$ 时的解析式 $f(x)=x^3-1$，求出 $f(-1)$ 后即可得出 $f(1)$，从而得到 $f(6)$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定周期： 因为当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f(x+\frac{1}{2})=f(x-\frac{1}{2})$， 设 $x-\frac{1}{2}=u$，则 $x+\frac{1}{2}=u+1$。 所以 $f(u+1)=f(u)$，即函数 $f(x)$ 的周期 $T=1$。

2. 利用周期性转化 $f(6)$： $f(6)=f(6-1)=f(5)=\cdots =f(1)$。

3. 利用奇偶性转化 $f(1)$： 已知当 $-1\le x\le 1$ 时，$f(x)$ 是奇函数， 所以 $f(1)=-f(-1)$。

4. 计算 $f(-1)$： 当 $x<0$ 时，$f(x)=x^3-1$。 代入 $x=-1$ 得：$f(-1)=(-1{)}^3-1=-1-1=-2$。

5. 得出结论： $f(1)=-f(-1)=-(-2)=2$。 所以 $f(6)=2$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 周期公式变形：常见的周期表示法有 $f(x+a)=f(x-a)⟹T=2a$；$f(x+a)=-f(x)⟹T=2a$。
• 区间衔接：本题巧妙地利用了奇函数在 $[-1,1]$ 上的性质作为“桥梁”，连接了正数区域（周期性）和负数区域（已知解析式）。
• 易错点：注意 $x^3-1$ 仅在 $x<0$ 时有效，不能直接代入 $f(6)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 图像思考： 通过图像可以直观看到，奇函数在 $x=0$ 处如果连续则 $f(0)=0$。本题虽未要求 $f(0)$，但这种对称性是理解抽象函数的核心。
• 类似题型：若条件改为 $f(x+1)=-f(x)$，则周期变为 2，计算时需多加一步正负号的判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

专题合集 (Series)