2016-山东卷理-19 解-分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的计算。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是 $\frac{3}{4}$，乙每轮猜对的概率是 $\frac{2}{3}$；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动.

(1)求“星队”至少猜对 3 个成语的概率；

(2)求“星队”两轮得分之和 $X$ 的分布列和数学期望 $E(X)$.

🔍【思路分析】

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1. 单轮概率分析：

• 两人都对（得 3 分）：$P_3=\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$。
• 只有一人对（得 1 分）：$P_1=\frac{3}{4}\times (1-\frac{2}{3})+(1-\frac{3}{4})\times \frac{2}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12}$。
• 两人都错（得 0 分）：$P_0=(1-\frac{3}{4})\times (1-\frac{2}{3})=\frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{12}$。

2. 第一问（至少对 3 个）： 两轮共猜 4 个成语。至少对 3 个包含“对 3 个”和“对 4 个”两种情况。
3. 第二问（分布列与期望）： $X$ 的取值可能是 $0+0=0,0+1=1,1+1=2,0+3=3,1+3=4,3+3=6$。分别计算对应概率并列表，最后利用公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算。

✅【答案】

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（1）23.（2）𝑋的分布列为

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)记“星队”至少猜对 3 个成语为事件 $A$。 两轮活动共有 4 个成语，猜对 3 个成语的情况有：甲两轮全对、乙对 1 个；或乙两轮全对、甲对 1 个。 猜对 4 个成语的情况有：甲、乙两轮均全对。 $P(A)=C_2^1\cdot \frac{3}{4}\cdot (1-\frac{3}{4})\cdot (\frac{2}{3}{)}^2+(\frac{3}{4}{)}^2\cdot C_2^1\cdot \frac{2}{3}\cdot (1-\frac{2}{3})+(\frac{3}{4}{)}^2\cdot (\frac{2}{3}{)}^2$ $P(A)=2\cdot \frac{3}{16}\cdot \frac{4}{9}+\frac{9}{16}\cdot 2\cdot \frac{2}{9}+\frac{9}{16}\cdot \frac{4}{9}$ $P(A)=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2+3+3}{12}=\frac{2}{3}$。

(2)由题意可知，$X$ 的可能取值为 $0,1,2,3,4,6$。 单轮得分的概率分布为：$P(\text{得 3 分})=\frac{1}{2},P(\text{得 1 分})=\frac{5}{12},P(\text{得 0 分})=\frac{1}{12}$。 $P(X=0)=\frac{1}{12}\times \frac{1}{12}=\frac{1}{144}$； $P(X=1)=C_2^1\times \frac{1}{12}\times \frac{5}{12}=\frac{10}{144}$； $P(X=2)=\frac{5}{12}\times \frac{5}{12}=\frac{25}{144}$； $P(X=3)=C_2^1\times \frac{1}{12}\times \frac{1}{2}=\frac{12}{144}$； $P(X=4)=C_2^1\times \frac{5}{12}\times \frac{1}{2}=\frac{60}{144}$； $P(X=6)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{36}{144}$。

$X$ 的分布列如下：

$X$	0	1	2	3	4	6
$P$	$\frac{1}{144}$	$\frac{10}{144}$	$\frac{25}{144}$	$\frac{12}{144}$	$\frac{60}{144}$	$\frac{36}{144}$

数学期望 $E(X)=0\times \frac{1}{144}+1\times \frac{10}{144}+2\times \frac{25}{144}+3\times \frac{12}{144}+4\times \frac{60}{144}+6\times \frac{36}{144}$ $E(X)=\frac{10+50+36+240+216}{144}=\frac{552}{144}=\frac{23}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 独立性应用：甲、乙之间及轮次之间的独立性是概率连乘的基础。
• 分步讨论：在处理 $X=4$ 这种有多种组合（如 $1+3$）的情况时，不要漏掉排列系数 $C_2^1$。
• 期望计算技巧：计算期望前，务必检查分布列概率之和是否为 1，这是纠错的有效手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 二项分布关联：若甲、乙概率相同且得分规则单一，则可简化为二项分布模型。
• 决策参考：期望 $E(X)\approx 3.83$ 分。这意味着平均参与一次（两轮）活动，“星队”能获得接近 4 分的成绩。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
• 2014-上海卷理-10 填-概率计算公式
• 2014-上海卷理-13 填-数学期望

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