2016-江苏卷-05 填-不等式

本题导读

本题考查函数定义域的求法、一元二次不等式的解法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 函数 $y=\sqrt{3-2x-x^2}$ 的定义域是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确限制条件：根据根式函数的性质，被开方数（根号内的表达式）必须大于或等于 0。
2. 构建不等式：令 $3-2x-x^2\ge 0$。
3. 规范化不等式：将不等式整理为标准形式（二次项系数为正），便于求解。
4. 求解不等式：利用因式分解法或求根公式找到根，根据不等号方向确定解集区间。

✅【答案】

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$[-3,1]$

✍【详细解析】

Abstract

解： 要使函数有意义，需满足被开方数非负，即： $3-2x-x^2\ge 0$ 不等式两边同乘以 $-1$，改变不等号方向，得： $x^2+2x-3\le 0$ 对左侧进行因式分解： $(x+3)(x-1)\le 0$ 由于开口向上，且要求小于等于 0，根据“大于取两边，小于取中间”的原则，解得： $-3\le x\le 1$。 以区间形式表示，定义域为 $[-3,1]$。

故答案为：$[-3,1]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义域常见要求：
  • 分式：分母不为 0。
  • 偶次根式：被开方数 $\ge 0$。
  • 对数式：真数 $>0$。
• 计算细节：在处理 $x^2$ 系数为负的不等式时，务必记得变号，这是极易出错的地方。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 数形结合理解： 我们可以将 $y=x^2+2x-3$ 看作一个开口向上的抛物线，它与 $x$ 轴的交点是 $-3$ 和 $1$。定义域对应的就是函数图象落在 $x$ 轴下方及轴上的部分。
  • 知识进阶： 若题目求的是函数 $y=\frac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}}$ 的定义域，则限制条件应变为 $3-2x-x^2>0$，结果为 $(-3,1)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

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