2016-江苏卷-11 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查函数的周期性、分段函数的解析式求解，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上且周期为 $2$ 的函数，在区间 $[-1,1)$ 上，$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+a,& -1\le x<0\\ |\frac{2}{5}-x|,& 0\le x<1\end{array}$，其中 $a\in \mathbf{R}$.若 $f(-\frac{5}{2})=f(\frac{9}{2})$，则 $f(5a)$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用周期性转化自变量：根据 $f(x+T)=f(x)$，将 $-\frac{5}{2}$ 和 $\frac{9}{2}$ 转化到 $[-1,1)$ 区间内。

• $-\frac{5}{2}+2\times 1=-0.5\in [-1,0)$。
• $\frac{9}{2}-2\times 2=0.5\in [0,1)$。

2. 建立等式求 $a$：代入分段函数解析式，由 $f(-0.5)=f(0.5)$ 解出 $a$。
3. 计算目标值：求出 $5a$ 后，再次利用周期性将其转化回 $[-1,1)$ 区间代入计算。

✅【答案】

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$-\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 转化已知条件： 因为 $T=2$， 所以 $f(-\frac{5}{2})=f(-\frac{5}{2}+2)=f(-\frac{1}{2})$。 $f(\frac{9}{2})=f(\frac{9}{2}-4)=f(\frac{1}{2})$。 由题意 $f(-\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})$。
2. 求解参数 $a$： 当 $x=-\frac{1}{2}$ 时，属于区间 $[-1,0)$，则 $f(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}+a$； 当 $x=\frac{1}{2}$ 时，属于区间 $[0,1)$，则 $f(\frac{1}{2})=|\frac{2}{5}-\frac{1}{2}|=|-\frac{1}{10}|=\frac{1}{10}$。 所以 $-\frac{1}{2}+a=\frac{1}{10}⟹a=\frac{1}{10}+\frac{5}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
3. 计算 $f(5a)$： 因为 $a=\frac{3}{5}$，所以 $5a=3$。 利用周期性：$f(3)=f(3-2)=f(1)$。 再利用周期性：$f(1)=f(1-2)=f(-1)$。 当 $x=-1$ 时，属于区间 $[-1,0)$，则 $f(-1)=-1+a=-1+\frac{3}{5}=-\frac{2}{5}$。

故答案为 $-\frac{2}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 周期的运用：计算 $f(x)$ 时，若 $x$ 不在定义区间内，需反复加减周期 $T$，直到进入指定区间。
• 端点归属：注意分段函数各段的取值范围（开闭区间）。本题中 $f(3)$ 最终转化为 $f(-1)$，是因为 $1$ 不在区间 $[-1,1)$ 内，而 $-1$ 在。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 数形结合： 周期函数在数轴上呈现重复的波形。理解 $f(5a)$ 即 $f(3)$ 的过程，可以看作在波形图上向左平移了一个半周期。
  • 易错提醒： 计算绝对值 $|\frac{2}{5}-\frac{1}{2}|$ 时要细心，分母通分极易因粗心出错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数
• 2017-上海卷-11 填-正弦函数

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