2016-江苏卷-21A 解-几何证明

本题导读

本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 如图，在 $△ABC$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$BD\perp AC$，$D$ 为垂足，$E$ 为 $BC$ 的中点.求证：$\angle EDC=\angle ABD$.

🔍【思路分析】

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1. 观察结论：要证 $\angle EDC=\angle ABD$，这两个角散落在两个不同的三角形中，需要寻找“中间角”。
2. 利用中点性质：在 $\text{Rt}△BDC$ 中，已知 $\angle BDC=90^{\circ }$ 且 $E$ 是斜边 $BC$ 的中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得 $DE=EC=EB$。
3. 发现等等腰关系：由 $DE=EC$ 得 $△EDC$ 是等腰三角形，从而 $\angle EDC=\angle C$。
4. 利用余角代换：

• 在 $\text{Rt}△ABC$ 中，$\angle C+\angle A=90^{\circ }$（或 $\angle C+\angle DBC=90^{\circ }$）。
• 在 $\text{Rt}△ABD$ 中，$\angle ABD+\angle A=90^{\circ }$。
• 由同角的余角相等，可证得 $\angle ABD=\angle C$。

5. 结论成立：通过 $\angle C$ 作为桥梁，完成证明。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

证明： 因为 $BD\perp AC$， 所以 $\angle BDC=90^{\circ }$。 在 $\text{Rt}△BDC$ 中，$E$ 为斜边 $BC$ 的中点， 所以 $DE=\frac{1}{2}BC=EC$（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。 所以 $\angle EDC=\angle C$。 因为 $\angle ABC=90^{\circ }$， 所以 $\angle ABD+\angle DBC=90^{\circ }$。 又因为 $BD\perp AC$， 所以 $\angle C+\angle DBC=90^{\circ }$。 所以 $\angle ABD=\angle C$（同角的余角相等）。 又由 $\angle EDC=\angle C$， 故 $\angle EDC=\angle ABD$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 直角三角形“神级”辅助线：看到直角三角形和斜边中点，几乎条件反射般要联想到斜边中线。
• 子母三角形：本题中的 $△ABC$、$△ABD$、$△BDC$ 构成了一组相似三角形（子母类），通过公共角的余角进行转换是平面几何证明题的常用套路。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 数形结合：
  • 知识迁移： 若本题要求证 $DE$ 是 $△BDC$ 外接圆的切线（如果 $DE$ 延长），则涉及切线长定理和弦切角等知识，通常也是此类图形的常考点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

专题合集 (Series)