2016-江苏卷-21C 解-参数方程

本题导读

本题考查参数方程化为普通方程、直线与椭圆的位置关系（交点弦长）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$ ($t$ 为参数)，椭圆 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=2\sin \theta \end{array}$ ($\theta$ 为参数).设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，求线段 $AB$ 的长.

🔍【思路分析】

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1. 消去参数：

• 直线：从 $y$ 的表达式解出 $t$，代入 $x$ 的表达式；或者观察方向向量，利用斜率式转化。
• 椭圆：利用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 进行转化。

2. 联立方程：将直线方程代入椭圆方程，得到关于 $x$ (或 $y$) 的一元二次方程。
3. 计算交点：求出 $A,B$ 两点的坐标。
4. 求弦长：利用两点间距离公式 $d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ 计算结果。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 化参数方程为普通方程： 由直线 $l$ 的参数方程 $\{\begin{array}{ll}x=1+\frac{1}{2}t& \text{(1)}\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t& \text{(2)}\end{array}$。 由 ② 得 $t=\frac{2y}{\sqrt{3}}$，代入 ① 得 $x=1+\frac{y}{\sqrt{3}}$，整理得直线 $l$ 的普通方程为：$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$。 由椭圆 $C$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\cos \theta \\ y=2\sin \theta \end{array}$，得 $\{\begin{array}{l}\cos \theta =x\\ \sin \theta =\frac{y}{2}\end{array}$。 因为 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$，所以椭圆 $C$ 的普通方程为：$x^2+\frac{y^2}{4}=1$。

2. 联立求解交点： 联立 $\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0\\ x^2+\frac{y^2}{4}=1\end{array}$，由第一式得 $y=\sqrt{3}(x-1)$，代入第二式： $x^2+\frac{3(x-1{)}^2}{4}=1⟹4x^2+3(x^2-2x+1)=4$ $7x^2-6x-1=0⟹(7x+1)(x-1)=0$。 解得 $x_1=1,x_2=-\frac{1}{7}$。 相应地，$y_1=\sqrt{3}(1-1)=0$；$y_2=\sqrt{3}(-\frac{1}{7}-1)=-\frac{8\sqrt{3}}{7}$。 即交点为 $A(1,0),B(-\frac{1}{7},-\frac{8\sqrt{3}}{7})$。

3. 计算弦长： $|AB|=\sqrt{(1+\frac{1}{7}{)}^2+(0+\frac{8\sqrt{3}}{7}{)}^2}=\sqrt{(\frac{8}{7}{)}^2+(\frac{8\sqrt{3}}{7}{)}^2}$ $|AB|=\sqrt{\frac{64}{49}+\frac{64\times 3}{49}}=\sqrt{\frac{64\times 4}{49}}=\frac{8\times 2}{7}=\frac{16}{7}$。

故线段 $AB$ 的长为 $\frac{16}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 消参技巧：直线参数方程如果是标准形式 $\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cos \alpha \\ y=y_0+t\sin \alpha \end{array}$，则 $|t_1-t_2|$ 直接就是弦长。本题直线方程虽非标准形式（方向向量模长为 1），但通过联立坐标求解依然简洁。
• 计算量控制：在联立方程后，也可以利用弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 结合韦达定理求解，避免直接解出复杂的坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 数形结合： 该直线过椭圆的右顶点 $(1,0)$，这解释了为什么联立方程后有一个解非常简单。
  • 变式思考：若题目要求直线被椭圆截得的中点坐标，直接利用韦达定理 $x_{mid}=\frac{x_1+x_2}{2}$ 即可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆

专题合集 (Series)