2016-浙江卷文-13 填-解三角形

本题导读

本题考查双曲线的几何性质与焦半径公式、余弦定理与锐角三角形判定，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 设双曲线 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，若点 $P$ 在双曲线上，且 $△F_{1}P{F}_2$ 为锐角三角形，则 $|P{F}_1|+|P{F}_2|$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据双曲线方程 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$，求出 $a=1,b=\sqrt{3},c=\sqrt{1+3}=2$，焦距 $|F_1{F}_2|=2c=4$。
2. 利用双曲线定义：||PF_1| - |PF_2|| = 2a = 2。
3. 利用 $△F_{1}P{F}_2$ 为锐角三角形的条件：三个角均小于 $90^{\circ }$，尤其是最大角（即对边为焦距 $|F_1{F}_2|$ 的角 $P$）必须满足 $\cos P>0$，结合余弦定理及勾股定理临界状态求解。

✅【答案】

点击查看答案

$(2\sqrt{7},8)$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$， 可得 $a=1,b=\sqrt{3}$，半焦距 $c=\sqrt{1+3}=2$。 焦点坐标为 $F_1(-2,0),F_2(2,0)$，焦距 $|F_1{F}_2|=4$。 由双曲线定义知：$||P{F}_1|-|P{F}_2||=2a=2$，不妨设 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2$（或 $-2$），即 $|P{F}_1|=|P{F}_2|+2$。 设 $|P{F}_2|=m$（$m>0$），则 $|P{F}_1|=m+2$。 在 $△F_{1}P{F}_2$ 中，三边长分别为 $|F_1{F}_2|=4$，$m$，$m+2$。 因为 $△F_{1}P{F}_2$ 为锐角三角形，所以三个内角都是锐角：

1. 夹角 $F_1$ 为锐角：对应余弦定理 $\cos F_1=\frac{4^2+(m+2{)}^2-m^2}{2\times 4\times (m+2)}>0⟹16+4m+4>0⟹m>-5$（恒成立）。
2. 夹角 $F_2$ 为锐角：对应余弦定理 $\cos F_2=\frac{4^2+m^2-(m+2{)}^2}{2\times 4\times m}>0⟹16-4m-4>0⟹12>4m⟹m<3$。
3. 夹角 $P$ 为锐角（最大角对应的边为 $F_1{F}_2=4$）： $m^2+(m+2{)}^2>4^2⟹2m^2+4m+4>16⟹m^2+2m-6>0$。 解得 $m>\sqrt{7}-1$ 或 $m<-1-\sqrt{7}$（舍去）。 综合上述不等式约束：$\sqrt{7}-1<m<3$。 题目要求求 $|P{F}_1|+|P{F}_2|$ 的取值范围： $|P{F}_1|+|P{F}_2|=m+(m+2)=2m+2$。 因为 $\sqrt{7}-1<m<3$， 所以 $2(\sqrt{7}-1)+2<2m+2<2(3)+2⟹2\sqrt{7}<|P{F}_1|+|P{F}_2|<8$。 故答案为：$(2\sqrt{7},8)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 双曲线定义、余弦定理、锐角三角形判定。
2. 核心方法: 边长不等式约束法（余弦大于0）。
3. 避坑指南：锐角三角形不仅要求两小边平方和大于大边平方，还需确保各内角余弦值均大于 0，切勿漏掉较小边对应的夹角限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线与解三角形综合压轴题。
2. 结论推广: 圆锥曲线上点构成的三角形范围问题通常转化为焦半径 $m$ 的不等式组求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

专题合集 (Series)