2016-浙江卷文-16 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理、三角函数二倍角公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.已知 $b+c=2a\cos B$.

(1) 证明：$A=2B$；

(2) 若 $\cos B=\frac{2}{3}$，求 $\cos C$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用正弦定理将边 $b,c,a$ 分别转化为正弦值 $\sin B,\sin C,\sin A$，代入已知条件 $b+c=2a\cos B$，利用正弦和差公式与二倍角公式化简证明 $A=2B$。
2. 第 (2) 问：已知 $\cos B=\frac{2}{3}$，结合 $A=2B$ 求出 $\cos A=\cos 2B=2{\cos }^{2}B-1$，进而求出 $\sin A,\sin B$，再利用三角形内角和与两角差余弦公式求出 $\cos C$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明 $A=2B$： 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$， 可得 $b=2R\sin B$，$c=2R\sin C$，$a=2R\sin A$。 代入已知条件 $b+c=2a\cos B$ 中： $2R\sin B+2R\sin C=2(2R\sin A)\cos B$。 两边同除以 $2R$ 得： $\sin B+\sin C=2\sin A\cos B$。 因为在 $△ABC$ 中，$\sin C=\sin (\pi -(A+B))=\sin (A+B)$， 所以 $\sin B+\sin (A+B)=2\sin A\cos B$。 展开左边正弦和差公式： $\sin B+\sin A\cos B+\cos A\sin B=2\sin A\cos B$。 移项整理得： $\sin B+\cos A\sin B=\sin A\cos B⟹\sin B(1+\cos A)=\sin A\cos B$。 利用二倍角公式 $\sin A=\sin (2B)=2\sin B\cos B$ 以及 $\cos A=2{\cos }^{2}B-1$： $\sin B[1+(2{\cos }^{2}B-1)]=(2\sin B\cos B)\cos B$ $\sin B(2{\cos }^{2}B)=2\sin B{\cos }^{2}B$。 等式两边恒成立，且 $\sin B\ne 0,\cos B\ne 0$，从而严格推导出 $\sin A=\sin 2B$。 结合三角形内角范围，可得 $A=2B$。

(2) 求 $\cos C$ 的值： 已知 $\cos B=\frac{2}{3}$。 则 $\sin B=\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。 由 $A=2B$ 可得： $\cos A=\cos 2B=2{\cos }^{2}B-1=2{\left(\frac{2}{3}\right)}^2-1=2\left(\frac{4}{9}\right)-1=\frac{8}{9}-1=-\frac{1}{9}$。 $\sin A=\sin 2B=2\sin B\cos B=2\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4\sqrt{5}}{9}$。 因为 $C=\pi -(A+B)$， 所以 $\cos C=\cos (\pi -(A+B))=-\cos (A+B)=-(\cos A\cos B-\sin A\sin B)$。 代入数据计算： $\cos C=-\left[\left(-\frac{1}{9}\right)\left(\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{4\sqrt{5}}{9}\right)\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)\right]$ $=-\left[-\frac{2}{27}-\frac{20}{27}\right]=-\left(-\frac{22}{27}\right)=\frac{22}{27}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 正弦定理边角互化、二倍角公式、两角和差余弦公式。
2. 核心方法: 三角恒等变换与整体代入法。
3. 避坑指南：证明角的关系时，注意利用诱导公式 $\sin (A+B)=\sin C$ 进行消元。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形解答题标准题型。
2. 结论推广: 边角关系式中出现 $2a\cos B$ 时，通常优先使用正弦定理转化为角的关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数

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