2017-全国卷I理-13 填-向量模长

本题导读

本题考查向量的模长计算，以及向量的数量积定义。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 已知向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 的夹角为 $60^{\circ }$，$|\mathbf{a}|=2$，$|\mathbf{b}|=1$，则 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模长转化：要求 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|$，通常先求其平方 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2$。
2. 展开公式：利用向量运算性质 $(\mathbf{a}+2\mathbf{b}{)}^2={\mathbf{a}}^2+4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+4{\mathbf{b}}^2$。
3. 数量积代入：其中 ${\mathbf{a}}^2=|\mathbf{a}{|}^2$，${\mathbf{b}}^2=|\mathbf{b}{|}^2$，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$。
4. 开方得解：最后将计算结果开算术平方根。

✅【答案】

点击查看答案

$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $2\sqrt{3}$

【解析过程】 因为 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2=(\mathbf{a}+2\mathbf{b}{)}^2={\mathbf{a}}^2+4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+4{\mathbf{b}}^2$， 已知 $|\mathbf{a}|=2$，则 ${\mathbf{a}}^2=4$； 已知 $|\mathbf{b}|=1$，则 ${\mathbf{b}}^2=1$； $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos 60^{\circ }=2\times 1\times \frac{1}{2}=1$。 代入计算： $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}{|}^2=4+4\times 1+4\times 1=12$。 所以 $|\mathbf{a}+2\mathbf{b}|=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。

秒杀技巧（几何法）： 观察发现 $|\mathbf{a}|=2$ 且 $|2\mathbf{b}|=2\times 1=2$。 即 $\mathbf{a}$ 与 $2\mathbf{b}$ 的长度相等。 由向量加法的平行四边形法则可知，$\mathbf{a}$ 与 $2\mathbf{b}$ 构成一个边长为 2、夹角为 $60^{\circ }$ 的菱形。 $\mathbf{a}+2\mathbf{b}$ 即为此菱形较长的那条对角线。 根据菱形性质，对角线长度为 $2\times 2\times \cos 30^{\circ }=2\sqrt{3}$（或者利用余弦定理推导）。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 平方律：这是求向量模最常用的手段，即 $|v|=\sqrt{v^2}$。
• 系数处理：注意 $2\mathbf{b}$ 作为一个整体，其模长变为 2，系数在平方展开时要平方（变为 4）。
• 特殊角数值：准确记忆 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ 是此类基础题不出错的前提。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练： 若题目改为求 $|\mathbf{a}-2\mathbf{b}|$，则： $|\mathbf{a}-2\mathbf{b}{|}^2=4-4\times 1+4=4$，结果为 2。 （几何意义：此时 $\mathbf{a}$ 与 $2\mathbf{b}$ 构成等边三角形，差向量为第三边）。

2. 向量垂直的应用： 若 $(\mathbf{a}+k\mathbf{b})\perp \mathbf{a}$，则 $(\mathbf{a}+k\mathbf{b})\cdot \mathbf{a}=0$，由此可求系数 $k$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长
• 2011-大纲卷文-03 单-向量模长
• 2006-福建文-09 单-向量模长方程