2011-大纲卷文-03 单-向量模长

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量模的平方展开。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 设向量 $a$，$b$ 满足 $|a|=|b|=1$，$a\cdot b=-\frac{1}{2}$，则 $|a+2b|=$ ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{5}$　　　　　　　D. $\sqrt{7}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$|a+2b{|}^2=|a{|}^2+4a\cdot b+4|b{|}^2$
2. 步骤2：代入数值开方

✅【答案】

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B$|a+2b|=\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

$|a+2b{|}^2=(a+2b)\cdot (a+2b)=|a{|}^2+4a\cdot b+4|b{|}^2=1+4\times \left(-\frac{1}{2}\right)+4=3$。

故 $|a+2b|=\sqrt{3}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积的分配律；模的平方 $|x{|}^2=x\cdot x$ 的转化

核心方法：遇到”求模”先平方：把 $|a+2b|$ 平方展开为数量积的线性组合，再开方

避坑指南：交叉项是 $2\times a\cdot (2b)=4a\cdot b$，不是 $2a\cdot b$；系数平方后要与数量积对应清楚。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量模长计算是高频基础题，与 2012-新课标卷文-15（向量数量积求模）、2013-安徽卷文-13（向量模与夹角）同族。

结论推广：推广：$|xa+yb{|}^2=x^2|a{|}^2+2xya\cdot b+y^2|b{|}^2$；夹角 $\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}$ 可由本题条件反求（$\theta =120^{\circ }$）。

方法推广：求模题固定动作：平方、展开、代值、开方；若给夹角则 $a\cdot b=|a||b|\cos \theta$ 先算数量积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-15 填-向量数量积求模
• 2013-安徽卷文-13 填-向量模与夹角
• 2012-安徽卷文-11 填-向量垂直求模