2009-大纲卷II文-06 单-向量模长

本题导读

考查向量模长。对 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=5\sqrt{2}$ 平方展开，代入 $|\mathbf{a}{|}^2=5$ 与 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=10$ 得 $|\mathbf{b}{|}^2$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(2,1)$，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=10$，$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=5\sqrt{2}$，则 $|\mathbf{b}|=$ ()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. $\sqrt{10}$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $25$

🔍【思路分析】

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1. $|\mathbf{a}{|}^2=2^2+1^2=5$。
2. $|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2=50$。
3. 得 $|\mathbf{b}{|}^2=50-5-20=25$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $\mathbf{a}=(2,1)$ 得 $|\mathbf{a}{|}^2=5$。对 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=5\sqrt{2}$ 两边平方： $|\mathbf{a}{|}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2=50,$ 代入 $|\mathbf{a}{|}^2=5$、$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=10$： $5+20+|\mathbf{b}{|}^2=50⟹|\mathbf{b}{|}^2=25⟹|\mathbf{b}|=5,$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的模与数量积

核心方法：模平方展开

避坑指南：$|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2$ 展开时中间项是 $2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$，系数 $2$ 别丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：模长与数量积互化是平面向量核心考点。

结论推广：$|\mathbf{u}{|}^2=\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}$；模长条件一律先平方。

方法推广：已知 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$ 与 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|$ 求 $|\mathbf{b}|$，平方展开一步到位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-03 单-向量模长
• 2013-安徽卷文-13 填-向量模与夹角
• 2014-湖南卷文-10 单-向量模