2017-全国卷I理-17 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理。核心在于边角互化法、代数运算律的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $△ABC$ 的面积为 $\frac{a^2}{3\sin A}$.

(1)求 $\sin B\sin C$；

(2)若 $6\cos B\cos C=1$，$a=3$，求 $△ABC$ 的周长.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求角的关系）：

• 利用面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$。
• 结合已知条件 $S=\frac{a^2}{3\sin A}$ 列出等式。
• 利用正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=2R$ 将边化为角，从而消掉 $\sin A$ 求得结果。

2. 第二问（求周长）：

• 已知 $\sin B\sin C$ 和 $\cos B\cos C$，利用两角和的余弦公式 $\cos (B+C)=\cos B\cos C-\sin B\sin C$ 求出 $\cos (B+C)$。
• 由 $B+C=\pi -A$ 可知 $\cos A=-\cos (B+C)$。
• 利用余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。
• 将 $bc$ 通过正弦定理或面积关系转化，求出 $b+c$ 的值，最后求周长 $a+b+c$。

✅【答案】

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(1) $\sin B\sin C=\frac{2}{3}$

(2) 周长为 $3+\sqrt{33}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由题意，$△ABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$。 又已知 $S=\frac{a^2}{3\sin A}$， 所以 $\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{a^2}{3\sin A}$，即 $bc{\sin }^{2}A=\frac{2}{3}{a}^2$。 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}$，得： $b=\frac{a\sin B}{\sin A}$，$c=\frac{a\sin C}{\sin A}$。 代入等式得：$(\frac{a\sin B}{\sin A})\cdot (\frac{a\sin C}{\sin A})\cdot {\sin }^{2}A=\frac{2}{3}{a}^2$。 化简得：$a^2\sin B\sin C=\frac{2}{3}{a}^2$。 因为 $a\ne 0$，所以 $\sin B\sin C=\frac{2}{3}$。

(2)解： 由(1)知 $\sin B\sin C=\frac{2}{3}$，已知 $6\cos B\cos C=1$，即 $\cos B\cos C=\frac{1}{6}$。 则 $\cos A=\cos [\pi -(B+C)]=-\cos (B+C)$ $=-(\cos B\cos C-\sin B\sin C)$ $=-(\frac{1}{6}-\frac{2}{3})=-(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$。 因为 $A\in (0,\pi )$，所以 $A=60^{\circ }$。 由正弦定理 $\frac{b\cdot c}{\sin B\sin C}=\frac{a^2}{{\sin }^{2}A}$： $bc=\frac{a^2\sin B\sin C}{{\sin }^{2}A}=\frac{3^2\times \frac{2}{3}}{(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}=\frac{6}{\frac{3}{4}}=8$。 由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 得： $3^2=b^2+c^2-2bc\cdot \frac{1}{2}$ $9=(b+c{)}^2-2bc-bc=(b+c{)}^2-3bc$。 代入 $bc=8$： $9=(b+c{)}^2-3\times 8\Rightarrow (b+c{)}^2=33$。 因为 $b+c>0$，所以 $b+c=\sqrt{33}$。 则 $△ABC$ 的周长为 $a+b+c=3+\sqrt{33}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 边角互化的选择：第一问中将边化为角更简洁；第二问中求周长本质是求 $b+c$，利用余弦定理的变形 $(b+c{)}^2$ 是常用技巧。
• 公式组合：$\cos (B+C)$ 与 $\cos A$ 的转化、$\sin B\sin C$ 与 $bc$ 的转化是解题的桥梁。
• 计算细节：注意 ${\sin }^{2}A$ 在分母时不要漏掉，且 $\cos A$ 的正负号由三角形内角和性质严格确定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-17 解-解三角形
• 2013-新课标I卷文-10 单-解三角形
• 2014-北京卷文-12 填-解三角形