2017-全国卷II文-05 单-双曲线

本题导读

考查双曲线离心率的计算公式及参数范围的确立，属于常规考查题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 若 $a>1$，则双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$ 的离心率的取值范围是 ()

A. $(\sqrt{2},+\infty )$　　　　B. $(\sqrt{2},2)$　　　　C. $(1,\sqrt{2})$　　　　D. $(1,2)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确双曲线方程中 $a^2,b^2$ 的值，写出 $c^2=a^2+b^2=a^2+1$。
2. 利用离心率公式 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}$。
3. 结合已知条件 $a>1$ 推导 $e$ 的取值范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$ 可知： 实半轴长为 $a$，虚半轴长为 $b=1$，焦距 $c=\sqrt{a^2+1}$。 离心率为： $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2+1}}{a}=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}}$。 因为 $a>1$，所以 $0<\frac{1}{a^2}<1$， 从而 $1<1+\frac{1}{a^2}<2$， 开方得：$1<e<\sqrt{2}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线离心率公式、不等式放缩。
2. 核心方法：将离心率表示为参数的函数再求值域。
3. 避坑指南：注意双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，切勿与椭圆的 $a^2=b^2+c^2$ 混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线核心性质基础题。
2. 结论推广: 双曲线的离心率 $e>1$，随着渐近线斜率变化而变化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线