2017-全国卷II文-17 解-数列综合

本题导读

考查等差、等比数列基本量的运算，以及通过已知条件构建方程组求解通项与前 $n$ 项和。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，等比数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，$a_1=-1$，$b_1=1$，$a_2+b_2=2$.

(1) 若 $a_3+b_3=5$，求 $\{b_n\}$ 的通项公式；

(2) 若 $T_3=21$，求 $S_3$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$.
2. 第(1)问：利用已知条件 $a_1=-1,b_1=1$ 以及 $a_2+b_2=2$、$a_3+b_3=5$，建立关于 $d$ 和 $q$ 的方程组求解公比 $q$，进而写出 $\{b_n\}$ 的通项公式。
3. 第(2)问：利用 $T_3=21$ 求解公比 $q$（需注意 $q=1$ 或 $q\ne 1$ 的分类讨论），然后求出 $d$ 和 $S_3$.

✅【答案】

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$21$ 或 $-6$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，等比数列 $\{b_n\}$ 的公比为 $q$. 已知 $a_1=-1$，$b_1=1$， 则 $a_2=a_1+d=-1+d$，$b_2=b_{1}q=q$. 由 $a_2+b_2=2$ 得： $(-1+d)+q=2⟹d+q=3⟹d=3-q$ ①.

(1) 若 $a_3+b_3=5$： 因为 $a_3=a_1+2d=-1+2d$，$b_3=b_1{q}^2=q^2$， 所以 $(-1+2d)+q^2=5⟹2d+q^2=6$ ②. 将①代入②中： $2(3-q)+q^2=6$ $6-2q+q^2=6$ $q^2-2q=0⟹q(q-2)=0$. 解得 $q=0$（舍去，因为等比数列公比 $q\ne 0$）或 $q=2$. 当 $q=2$ 时，等比数列 $\{b_n\}$ 的首项为 1，公比为 2， 其通项公式为 $b_n=b_1{q}^{n-1}=1\times 2^{n-1}=2^{n-1}$.

(2) 若 $T_3=21$： 等比数列的前 3 项和为 $T_3=b_1+b_2+b_3=1+q+q^2=21⟹q^2+q-20=0$. 解得 $(q+5)(q-4)=0$，即 $q=-5$ 或 $q=4$. 当 $q=-5$ 时，由①式得 $d=3-(-5)=8$. 此时等差数列的前 3 项和为： $S_3=3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=3(-1)+3(8)=-3+24=21$. 当 $q=4$ 时，由①式得 $d=3-4=-1$. 此时等差数列的前 3 项和为： $S_3=3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=3(-1)+3(-1)=-3-3=-6$. 综上所述，$S_3$ 的值为 $21$ 或 $-6$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差/等比数列基本量方程组求解、前 $n$ 项和公式。
2. 核心方法：设元列方程组与分类讨论法。
3. 避坑指南：解等比数列公比时要注意检验 $q\ne 0$，并在求和时对 $q$ 的可能取值全面分类讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列解答题中的基础常规题型。
2. 结论推广: 混合数列问题通常通过引入公差 $d$ 和公比 $q$ 建立统一的代数方程组来解决。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-23 解-数列综合
• 2015-福建卷文-17 解-数列综合
• 2020-江苏卷-20 解-数列综合