2020-江苏卷-20 解-数列综合

本题导读

本题考查数列新定义。核心在于构造递推关系、换元思想 (由面积/比例转化为代数变量)的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年江苏卷）已知数列 $\{a_n\}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 的首项 $a_1=1$，前 $n$ 项和为 $S_n$。设 $\lambda$ 与 $k$ 是常数，若对一切正整数 $n$，均有 $S_{n+1}^{\frac{1}{k}}-S_n^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为“$\lambda -k$”数列。

（1）若等差数列 $\{a_n\}$ 是“$\lambda -1$”数列，求 $\lambda$ 的值；

（2）若数列 $\{a_n\}$ 是“$\frac{\sqrt{3}}{3}-2$”数列，且 $a_n>0$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

（3）对于给定的 $\lambda$，是否存在三个不同的数列 $\{a_n\}$ 为“$\lambda -3$”数列，且 $a_n\ge 0$？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由。

🔍【思路分析】

破题导航

（1）定义还原： $k=1$ 时，定义式直接退化为 $S_{n+1}-S_n=\lambda a_{n+1}$。利用 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$ 即可。

（2）结构化简： $k=2$ 时，方程含根号。利用 $a_{n+1}=(\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n})(\sqrt{S_{n+1}}+\sqrt{S_n})$ 进行约项，构造出 $\sqrt{S_{n+1}}$ 与 $\sqrt{S_n}$ 的等比关系。

（3）存在性判定：

• 种子数列： 容易发现 $a_{n+1}=0$ 总能满足方程，这提供了一个数列（$1,0,0,\dots$）。
• 方程建模： 剩下的两个数列必须由关于 $x=(\frac{S_{n+1}}{S_n}{)}^{1/3}$ 的二次方程产生。
• 根的分布： 要有三个不同数列，二次方程必须有两个不相等的正根。通过判别式 $\Delta >0$、两根之和 $>0$、两根之积 $>0$ 建立不等式组。

✅【答案】

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$a_{n+1}=\lambda a_{n+1}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 由题意，$S_{n+1}-S_n=\lambda a_{n+1}$。 又 $S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$，故 $a_{n+1}=\lambda a_{n+1}$。 由于 $a_1=1$ 且 $\{a_n\}$ 是等差数列，$\{a_n\}$ 不可能为恒 0 数列， 故 $\lambda =1$。

（2）解：

1. 已知 $\lambda =\frac{\sqrt{3}}{3},k=2$，则 $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n}=\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{a_{n+1}}$。
2. 平方得：$(\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n}{)}^2=\frac{1}{3}{a}_{n+1}=\frac{1}{3}(S_{n+1}-S_n)$。
3. 利用平方差：$(\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n}{)}^2=\frac{1}{3}(\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n})(\sqrt{S_{n+1}}+\sqrt{S_n})$。
4. 因为 $a_n>0$, 则 $S_{n+1}>S_n$，约去公因式： $\sqrt{S_{n+1}}-\sqrt{S_n}=\frac{1}{3}(\sqrt{S_{n+1}}+\sqrt{S_n})⟹\frac{2}{3}\sqrt{S_{n+1}}=\frac{4}{3}\sqrt{S_n}⟹\sqrt{S_{n+1}}=2\sqrt{S_n}$。
5. 从而 $S_{n+1}=4S_n$，故 $\{S_n\}$ 是首项为 1，公比为 4 的等比数列：$S_n=4^{n-1}$。
6. $a_n=\{\begin{array}{ll}1,& n=1\\ 4^{n-1}-4^{n-2}=3\cdot 4^{n-2},& n\ge 2\end{array}$。

（3）解：

1. $k=3$ 时，$(S_{n+1}^{1/3}-S_n^{1/3}{)}^3={\lambda }^3(S_{n+1}-S_n)$。
2. 令 $u=S_{n+1}^{1/3},v=S_n^{1/3}$。则 $(u-v{)}^3={\lambda }^3(u^3-v^3)={\lambda }^3(u-v)(u^2+uv+v^2)$。
3. 分支一： $u=v⟹a_{n+1}=0$。这确定了一个唯一的数列 $\{1,0,0,\dots \}$。
4. 分支二： $u\ne v$，化简得 $(u-v{)}^2={\lambda }^3(u^2+uv+v^2)$。 整理为关于 $x=u/v$ 的方程：$({\lambda }^3-1)x^2+({\lambda }^3+2)x+({\lambda }^3-1)=0$。
5. 要有三个不同数列，此方程需有两个不相等的正根：

• $\Delta =({\lambda }^3+2{)}^2-4({\lambda }^3-1{)}^2=3{\lambda }^3(4-{\lambda }^3)>0⟹0<{\lambda }^3<4$。
• $x_1{x}_2=1>0$（恒成立）。
• $x_1+x_2=-\frac{{\lambda }^3+2}{{\lambda }^3-1}>0$。由于 ${\lambda }^3+2>0$，必有 ${\lambda }^3-1<0⟹\lambda <1$。

6. 结合 $\lambda \ne 1$（若 $\lambda =1$ 方程降次），综上得 $0<\lambda <1$。

答： 存在，$\lambda$ 的取值范围是 $(0,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 平方差/立方差的妙用： 在处理含有 $S_n$ 幂次的递推式时，利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 进行因式分解是消去根号、简化问题的核心。
• 分类讨论的完备性： 第三问中 $a_{n+1}=0$ 也是一种合法的数列状态，必须考虑到它占用的一个名额。

📖【试题探源与推广】

Tip

江苏卷的压轴题往往喜欢通过一个数学概念（如本题的 $\lambda -k$ 数列）来包装。

• 破题关键： 不要被新名词吓到，第一时间将抽象定义写成具体的代数表达式。
• 化归思想： 将“数列的存在性”转化为“代数方程根的存在性”。

在第三问中，很多同学只记得 $\Delta >0$，却忘记了 $x=(S_{n+1}/S_n{)}^{1/3}$ 必须为正数（因为 $a_n\ge 0⟹S_{n+1}\ge S_n$）。

• 韦达定理判定法： 判定二次方程正根的三要素：$\Delta >0$（有根）、$x_1+x_2>0$、$x_1{x}_2>0$。

本题的 $\lambda -k$ 数列实际上是一种变相的等比关系。在（2）中我们求出了确定的公比，而在（3）中，由于方程有两个根，意味着每一项的递推比值都有两种选择，理论上可以组合出无数个数列。但题目要求的是“三个不同数列”，且 $\lambda$ 是固定的，这暗示了我们必须在 $a_{n+1}=0$ 的确定性与方程根的稳定性之间寻找平衡。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
• 1986-全国理-16 填-三角恒等变换求值
• 1991-全国卷理-24