2015-福建卷文-17 解-数列综合

本题导读

解答题第一题定位基础：先用基本量法解出 $a_1,d$，再把 $b_n=2^n+n$ 拆成等比段与等差段分别求和。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_2=4$，$a_4+a_7=15$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 设 $b_n=2^{a_n-2}+n$，求 $b_1+b_2+b_3+\cdots +b_{10}$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. （1）设公差 $d$，把两个条件都化成 $a_1,d$ 的方程，联立求解。
2. （2）$a_n=n+2\Rightarrow b_n=2^n+n$：等比部分套求和公式，等差部分直接相加。

✅【答案】

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(1) $a_n=n+2$

(2) $2101$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$. 由题意得

$\{\begin{array}{l}{a}_1+d=4,\\ 2a_1+9d=15,\end{array}$

解得 $a_1=3$，$d=1$. 所以 $a_n=a_1+(n-1)d=n+2$.

（2） 由（1）知 $b_n=2^{a_n-2}+n=2^n+n$，故

$b_1+b_2+\cdots +b_{10}=(2^1+\cdots +2^{10})+(1+2+\cdots +10)$

$=\frac{2(1-2^{10})}{1-2}+\frac{10\times 11}{2}=(2^{11}-2)+55=2046+55=2101.$

所以 $b_1+b_2+\cdots +b_{10}=2101$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的通项公式（基本量法）；分组求和法。

2. 核心方法：“基本量法解通项 → 按 $2^n$ 与 $n$ 分组、各用各的求和公式”。

3. 避坑指南：① $2^{a_n-2}=2^{(n+2)-2}=2^n$，指数运算别算错；② 等比求和公式为 $\frac{2(1-2^{10})}{1-2}=2^{11}-2=2046$，写错公比或项数是常见失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：数列解答题首题历来是”等差（比）数列 + 求和”，属于解答题中的保分题，福建卷历年保持这一配置。

2. 结论推广: 若 $b_n=2^{a_n-2}+2n-1$，则奇数段与偶数段也可分组；分组求和的钥匙永远是”通项能拆成几类基本数列”。

3. 方法推广: 数列求和决策树：通项是”等比 ± 等差”用分组法；“等差 × 等比”用错位相减；含 $\frac{1}{n(n+1)}$ 用裂项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013年福建卷理-20