2017-全国卷II文-19 解-独立性检验

本题导读

本题考查频率分布直方图的频率计算、独立性检验，以及根据直方图对两种方案优劣进行比较。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：

(1) 记 $A$ 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”，估计 $A$ 的概率；

(2) 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关；

	箱产量 $<50$ kg	箱产量 $\ge 50$ kg
旧养殖法
新养殖法

(3) 根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较.

附：$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：从旧养殖法直方图计算箱产量低于 50 kg 的各组频率之和。
2. 第(2)问：由直方图频率算频数填列联表，代入 $K^2$ 公式与临界值 $6.635$ 比较。
3. 第(3)问：比较两种养殖法箱产量的均值（或中位数）位置及分布集中程度。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $0.62$

(2) 列联表见解析；$K^2\approx 15.705>6.635$，有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关

(3) 新养殖法的箱产量较高且稳定，优于旧养殖法

✍【详细解析】

Abstract

(1) 旧养殖法箱产量低于 50 kg 的频率为 $(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)\times 5=0.62$。 因此事件 $A$ 的概率估计值为 $0.62$。

(2) 根据频率分布直方图得列联表：

	箱产量 $<50$ kg	箱产量 $\ge 50$ kg	合计
旧养殖法	62	38	100
新养殖法	34	66	100
合计	96	104	200

$K^2=\frac{200\times (62\times 66-34\times 38{)}^2}{100\times 100\times 96\times 104}\approx 15.705$。 由于 $15.705>6.635$，故有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关。

(3) 箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值（或中位数）在 50 kg 到 55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值（或中位数）在 45 kg 到 50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高。因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图的频率计算、独立性检验、数据比较。
2. 核心方法：矩形面积即频率，代入 $K^2$ 公式。
3. 避坑指南：直方图中矩形高度是“频率/组距”，算频率勿漏乘组距。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考概率统计应用题。
2. 结论推广：独立性检验比较观测值与临界值，决定是否有关。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2010-新课标卷文-19 解-独立性检验
• 2011-湖南卷文-05 单-独立性检验
• 2014-江西卷文-07 单-独立性检验