2017-全国卷II理-09 单-双曲线

本题导读

本题考查双曲线的几何性质，以及圆的弦长公式。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 若双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的一条渐近线被圆 $(x-2{)}^2+y^2=4$ 所截得的弦长为 2，则 $C$ 的离心率为 ()

A. 2　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定渐近线方程：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，即 $bx\pm ay=0$。
2. 分析圆的参数：圆 $(x-2{)}^2+y^2=4$ 的圆心为 $M(2,0)$，半径 $R=2$。
3. 利用垂径定理：设圆心到渐近线的距离为 $d$，截得弦长为 $L=2$。根据勾股关系有 $d^2+(\frac{L}{2}{)}^2=R^2$。
4. 建立 $a,b$ 关系：利用点到直线的距离公式表示 $d$，求出 $a$ 与 $b$ 的比值，最后转化成离心率 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：利用圆的几何性质求距离 $d$ 由题意，圆心为 $M(2,0)$，半径 $R=2$，弦长 $L=2$。 设圆心 $M$ 到渐近线的距离为 $d$，则： $d=\sqrt{R^2-{\left(\frac{L}{2}\right)}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$

第二步：利用距离公式建立 $a,b$ 的方程 取双曲线的一条渐近线 $bx-ay=0$。 点 $M(2,0)$ 到该直线的距离： $d=\frac{|b\cdot 2-a\cdot 0|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2b}{c}=\sqrt{3}$ （其中 $c=\sqrt{a^2+b^2}$）

第三步：求解离心率 $e$ 由 $\frac{2b}{c}=\sqrt{3}$ 得 $\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 在双曲线中，有关系式 $(\frac{a}{c}{)}^2+(\frac{b}{c}{)}^2=1$。 所以 $(\frac{a}{c}{)}^2=1-(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$。 由此得 $\frac{a}{c}=\frac{1}{2}$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=2$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 解析几何的简化：处理“直线被圆截得弦长”时，优先考虑几何法（垂径定理 $d^2+(\frac{L}{2}{)}^2=R^2$），避免联立方程组计算判别式，能极大提高效率。
• 离心率的多种表达：熟练掌握 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}$，以及 $\sin \theta =\frac{b}{c},\cos \theta =\frac{a}{c}$（其中 $\theta$ 为渐近线与实轴夹角）的转化。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 几何直观： 当 $e=2$ 时，渐近线与 $x$ 轴夹角为 $60^{\circ }$（因为 $\cos \theta =1/e=1/2$）。此时渐近线方程为 $y=\sqrt{3}x$。代入验证：圆心 $(2,0)$ 到 $\sqrt{3}x-y=0$ 的距离 $d=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，符合要求。

2. 变式思考： 如果题目改为“圆心在 $y$ 轴上”，或者“渐近线与圆相切”，解题逻辑完全一致，只需调整距离 $d$ 的计算方式。

3. 易错点： 注意双曲线中 $c^2=a^2+b^2$，而椭圆中 $a^2=b^2+c^2$。在考场上忙中易出错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-08 单-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线