2017-全国卷II理-18 解-独立性检验

本题导读

本题考查频率分布直方图。核心在于公式法、列表法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）.

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 $A$ 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 $A$ 的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关：

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（概率估计）：

• 从直方图中分别计算出旧养殖法产量 $<50$ 的频率 $P_1$ 和新养殖法产量 $\ge 50$ 的频率 $P_2$。
• 事件 $A$ 为两个独立事件同时发生，则 $P(A)=P_1\times P_2$。

2. 第二问（列联表与独立性检验）：

• 根据直方图各组矩形面积（频率 $\times$ 组距）算出频数，填入 $2\times 2$ 列联表。
• 代入 $K^2$ 公式计算观测值，与临界值 $6.635$ 进行比较。

3. 第三问（中位数估计）：

• 在新养殖法的直方图中，寻找频率累加达到 $0.5$ 的位置。
• 使用公式：中位数 = 所在区间左端点 + $\frac{0.5-\text{左侧累加频率}}{\text{当前区间频率}}\times \text{组距}$。

✅【答案】

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(1) $P(A)=0.4092$

(2) 有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关

(3) 中位数估计值为 $54.00$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由频率分布直方图得：

• 旧养殖法箱产量低于 $50\text{kg}$ 的频率为：$(0.012+0.014+0.024+0.012)\times 5=0.62$；
• 新养殖法箱产量不低于 $50\text{kg}$ 的频率为：$(0.040+0.032+0.024+0.020+0.016)\times 5=0.66$。 因为两种养殖方法相互独立，所以事件 $A$ 的概率估计值为： $P(A)=0.62\times 0.66=0.4092$

(2)解： 填写列联表如下：

	箱产量 $<50\text{kg}$	箱产量 $\ge 50\text{kg}$	合计
旧养殖法	$62$	$38$	$100$
新养殖法	$34$	$66$	$100$
合计	$96$	$104$	$200$

计算 $K^2$ 观测值： $K^2=\frac{200\times (62\times 66-34\times 38{)}^2}{100\times 100\times 96\times 104}=\frac{200\times (4092-1292{)}^2}{10000\times 9984}\approx 15.705$ 由于 $15.705>6.635$， 所以有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关。

(3)解： 新养殖法产量在 $[40,50)$ 的频率为 $(0.024+0.008)\times 5=0.16$； 在 $[50,55)$ 的频率为 $0.040\times 5=0.20$； 新养殖法产量低于 $50\text{kg}$ 的频率为 $0.34$（由第2问可知）。 设中位数为 $x$，因为 $0.34<0.5<0.34+0.40\times 5=0.54$（注：此处需根据具体直方图区间判定，通常中位数落在 $[50,55)$ 区间）。 累加频率至 $50$ 为 $0.34$，区间 $[50,55)$ 频率为 $0.20$。 $x=50+\frac{0.5-0.34}{0.040\times 5}\times 5=50+\frac{0.16}{0.20}\times 5=50+4=54.00$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 直方图中的面积即频率：矩形的高度是“频率/组距”，计算频率时千万不要漏掉组距。
• 独立性检验结论表述：必须严格按照“有…把握认为…有关”或“没有…把握认为…有关”来作答。
• 中位数逻辑：中位数是平分面积的垂直线，在计算时常用线性插值法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2010-新课标卷文-19 解-独立性检验
• 2011-湖南卷文-05 单-独立性检验
• 2014-江西卷文-07 单-独立性检验